Kezdőlap


Feladat:	1581. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Neumüller Imre , Pörneczi Tamás
Füzet:	1975/november, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: 1581. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen még az $A D$ és $P B$ húrok metszéspontja $G$ ‐ nyilvánvalóan $E$ és $A$ között ‐, így a $G P D$ és $G A B$ derékszögű háromszögek hasonlóságából, majd mivel az utóbbi ( $A B = A D$ és két szögük egyenlősége alapján) $90^{\circ}$ -os elfordítás után lefedi az $F A D$ derékszögű háromszöget:

\begin{matrix} \frac{P G}{P D} = \frac{A G}{A B} = \frac{A F}{A B} . \end{matrix}

(1)

Másrészt, mivel

C

felezi a

P

-t nem tartalmazó

B D

félkört, azért a

P C

‐ más jelöléssel

P E

‐ egyenes felezi a

G P D

szöget, tehát a szögfelező tételét, a

G P D

háromszögre alkalmazva

\begin{matrix} \frac{P G}{P D} = \frac{E G}{E D} = \frac{E A - G A}{A D - A E} = \frac{A E - A F}{A B - A E} . \end{matrix}

(2)

(1)

és

(2)

bal oldalai egyenlők, ezért a jobb oldalakból, alkalmas felcseréléssel

\begin{matrix} \frac{A B - A E}{A B} = \frac{A E - A F}{A F}, \\ 1 - \frac{A E}{A B} = \frac{A E}{A F} - 1, \end{matrix}

ahonnan ‐ a tört kifejezéseket a jobb oldalra gyűjtve, végül

2 \cdot A E

-vel osztva

\begin{matrix} \frac{1}{A E} = \frac{1}{2} (\frac{1}{A B} + \frac{1}{A F}) . \end{matrix}

Ez az állításnak olyan alakítása, amit szóban így mondhatunk ki:

A E

reciproka egyenlő az

A B

és

A F

reciprokának számtani közepével. Ennek szokásos kifejezése:

A E

egyenlő az

A B

és

A F

harmonikus közepével.^{$^{*}$}

Neumüller Imre (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., II. o. t.)

Pörneczi Tamás (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Ábránkról (visszafelé) leolvasható egy-egy szerkesztő eljárás két különböző szakasz harmonikus közepének szerkesztésére, illetve ennek megfordítására, a szakaszpár hiányzó tagjának szerkesztésére, ha ismert a harmonikus közép és a nagyobbik szakasz. Mindkét esetben a két szakasz nagyobbikának

A B

szerepét adjuk át, az első esetben a kisebbik szakasz szerepét

A F

-nek, a második esetben a harmonikus közép szerepét

A E

-nek. Megszerkesztve a négyzetet és a kört, az első esetben

D F

kimetszi

P

-t, majd

P C

E

-t, a másodikban viszont

C E

kimetszi

P

-t és

P D

F

-et.
2. Az

1.

megjegyzéshez kapcsolódva, az

A F

és

A E

adatok

A E > A F

nagyságviszonya mellett nehézkesebb lenne előállítani a kört és a négyzetet. Ez veti fel ötletként: hátha akkor is érvényes az állítás, ha

P

helyére a rövidebbik

C D

ív egy belső

P^{*}

pontját választjuk. Könnyű belátni, hogy bizonyításunk ‐ lényegtelen módosítások után ‐ ekkor is érvényes. Így az elintézetlenül maradt esetben a harmonikus középnél kisebb, ismert szakasz is megkaphatja

A B

szerepét; továbbá az első esetben tetszőleges, hogy a szakaszpár melyik tagja kapja

A B

szerepét.

^{$^{*}$}Lásd az Iskolai függvénytáblázat

241.4

és

242.3

képleteit

n = 2

mellett, alkalmas alakítás után.