Kezdőlap


Feladat:	291. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Komka Gyula , Náray Miklós , Urbán János
Füzet:	1956/március, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 291. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést az 1. ábra mutatja.

1. ábra

Mint ismeretes, az

S

súlypont az

A A_{1} = s_{a}

szakaszt

2 : 1

arányban osztja. Tehát a feladat szerint az

A S = \frac{2}{3} s_{a}

szakasz, a

C

csúcspontból az adott

φ

szög alatt látszik. Másrészt az

A A_{1} = s_{a}

szakasz

C

-ből derékszög alatt látszik.
A szerkesztés menete eszerint: Kiindulva az adott

A A_{1}

, ill.

A S

szakaszokból, megszerkesztjük az

A S

szakaszhoz a

φ

látószögnek megfelelő látókörívet. Utóbbinak az

A A_{1}

fölé mint átmérő fölé rajzolt Thales-körrel való metszéspontja szolgáltatja a keresett

C

csúcspontot. A megoldhatóság feltétele, hogy

φ < 90^{\circ}

Komka Gyula (Veszprém, Lovassy g. II. o. t.)

II. megoldás: A látókörív nélkül egyszerűbben kaphatjuk az

A A_{1}

fölé rajzolt Thales-körön a

C

pontot, ha felmérjük a

K A

körsugárhoz a

K A D ∢ = 2 φ

középponti szöget (1. ábra). A

D C

egyenes metszi ki a Thales-körből a

C

pontot.

Náray Miklós (Bp. VIII., Széchenyi g. I. o. t.)

III. megoldás: Az 1. ábrából egy még egyszerűbb szerkesztés is leolvasható. Az

s_{c}

súlyvonal végpontja

C_{1}

‐ mint ismeretes ‐ a derékszögű háromszög köré írt kör középpontja, vagyis

s_{c} = \frac{c}{2}

. Tehát az

A C_{1} C_{▵}

egyenlő szárú, és mivel a feladat szerint az

A C C_{1} ∢ = φ

, azért a keresett derékszögű háromszög

A

csúcsánál fekvő szöge szintén

φ

. Az adott

φ

szög tehát máris meghatározza a szerkesztendő derékszögű háromszöget alakra nézve.
Eszerint nem kell egyebet tennünk, mint egy tetszőleges

A B' C'

derékszögű háromszöget szerkeszteni, amelynek

A

-nál levő szöge

φ

(2. ábra), és ebben meghúzni az

A A_{1}

súlyvonalat.

2. ábra

E háromszöget kell azután az

A

csúcsból mint hasonlósági középpontból az adott

s_{a} = A A_{1}

felhasználásával

A A_{1} : A A'_{1}

arányban nagyítani, vagy kicsinyíteni.

Urbán János (Székesfehérvár, József A. g. II. o. t.)