Feladat: 291. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Komka Gyula ,  Náray Miklós ,  Urbán János 
Füzet: 1956/március, 85 - 86. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/szeptember: 291. matematika gyakorlat

Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adva van az a befogóhoz tartozó sa súlyvonal, továbbá az a φ szög, melyet a b befogó az átfogóhoz tartozó sc súlyvonallal bezár.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést az 1. ábra mutatja.

 
 
1. ábra
 

Mint ismeretes, az S súlypont az AA1=sa szakaszt 2:1 arányban osztja. Tehát a feladat szerint az AS=23sa szakasz, a C csúcspontból az adott φ szög alatt látszik. Másrészt az AA1=sa szakasz C-ből derékszög alatt látszik.
A szerkesztés menete eszerint: Kiindulva az adott AA1, ill. AS szakaszokból, megszerkesztjük az AS szakaszhoz a φ látószögnek megfelelő látókörívet. Utóbbinak az AA1 fölé mint átmérő fölé rajzolt Thales-körrel való metszéspontja szolgáltatja a keresett C csúcspontot. A megoldhatóság feltétele, hogy φ<90.
 

Komka Gyula (Veszprém, Lovassy g. II. o. t.)
 

II. megoldás: A látókörív nélkül egyszerűbben kaphatjuk az AA1 fölé rajzolt Thales-körön a C pontot, ha felmérjük a KA körsugárhoz a KAD=2φ középponti szöget (1. ábra). A DC egyenes metszi ki a Thales-körből a C pontot.
 

Náray Miklós (Bp. VIII., Széchenyi g. I. o. t.)
 

III. megoldás: Az 1. ábrából egy még egyszerűbb szerkesztés is leolvasható. Az sc súlyvonal végpontja C1 ‐ mint ismeretes ‐ a derékszögű háromszög köré írt kör középpontja, vagyis sc=c2. Tehát az AC1C egyenlő szárú, és mivel a feladat szerint az ACC1=φ, azért a keresett derékszögű háromszög A csúcsánál fekvő szöge szintén φ. Az adott φ szög tehát máris meghatározza a szerkesztendő derékszögű háromszöget alakra nézve.
Eszerint nem kell egyebet tennünk, mint egy tetszőleges AB'C' derékszögű háromszöget szerkeszteni, amelynek A-nál levő szöge φ (2. ábra), és ebben meghúzni az AA1 súlyvonalat.
 
 
2. ábra
 

E háromszöget kell azután az A csúcsból mint hasonlósági középpontból az adott sa=AA1 felhasználásával AA1:AA'1 arányban nagyítani, vagy kicsinyíteni.
 

Urbán János (Székesfehérvár, József A. g. II. o. t.)