Kezdőlap


Feladat:	719. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Detre Mária , Germadics Vilmos
Füzet:	1956/május, 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/december: 719. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A feladat szerint

\begin{matrix} b^{2} = a \cdot \bar{a c} . \end{matrix}

Ebből látható, hogy 1)

b

nem lehet prímszám (mert

a = 1

esetén

b^{2} = 10 + c

, és 10 és 20 között nincs egyjegyű prímszám négyzete), 2) hogy

b^{2}

kétjegyű, tehát

b > 3

b

lehetséges értékei tehát: 4, 6, 8, 9. Ezek négyzetei rendre 16, 36, 64, 81. Ezeket felbontva egy egyjegyű és egy kétjegyű szám szorzatára, és még tekintetbe véve, hogy szükségképpen

a < c

, a lehetséges 6 szorzat közül csak az

1 \cdot 16

a kívánt a

a \cdot \bar{a c}

alakú. Tehát

b^{2} = 16

, vagyis

b = 4

a = 1

c = 6

.
Valóban 1, 4, 16, 64 megfelel a feladat követelményeinek.

Germadics Vilmos (Bp., I., István g. IV. o. t.)

II. megoldás. Ha a mértani sorozat hányadosát

q

-val jelöljük, akkor

\begin{matrix} a q & = b, & (1) \\ a q^{2} & = 10 a + c, & (2) \\ a q^{3} & = 10 c + b . & (3) \end{matrix}

(2) 10-szeresét kivonna (3)-ból és felhasználva (1)-t nyerjük, hogy

\begin{matrix} a q^{3} - 10 a q^{2} = a q - 100 a, \end{matrix}

és így (mivel

a \neq 0

)

\begin{matrix} q^{3} - 10 q^{2} - q + 100 = 0. \end{matrix}

(4)

(2)-ből következik, hogy

q

csak pozitív és (1)-ből, hogy csak racionális lehet, (4)-ből pedig következik ‐ mert

q^{3}

együtthatója 1 ‐ ha

q

racionális, akkor csak egész lehet, és csak 100 osztói közül kerülhet ki. Hamar meggyőződhetünk, hogy az 1, 2, 4, 5 értékek közül csak

\begin{matrix} q = 4 \end{matrix}

elégíti ki (4)-et.
Mivel (3) szerint

a q^{3} = a \cdot 64 = 10 c + b

, azért

\begin{matrix} a = 1, c = 6, b = 4. \end{matrix}

Detre Mária (Esztergom, 9. sz. gépip. t. III. o. t.)