Feladat: 719. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Detre Mária ,  Germadics Vilmos 
Füzet: 1956/május, 148. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/december: 719. matematika feladat

Határozzak meg az a, b, c természetes, egyjegyű számokat úgy, hogy a, b, ac¯, cb¯ mértani sort alkosson. (A felülhúzás azt jelenti, hogy egy, a tízes számrendszerben leírt számról van szó).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A feladat szerint

b2=aac¯.
Ebből látható, hogy 1) b nem lehet prímszám (mert a=1 esetén b2=10+c, és 10 és 20 között nincs egyjegyű prímszám négyzete), 2) hogy b2 kétjegyű, tehát b>3.
b lehetséges értékei tehát: 4, 6, 8, 9. Ezek négyzetei rendre 16, 36, 64, 81. Ezeket felbontva egy egyjegyű és egy kétjegyű szám szorzatára, és még tekintetbe véve, hogy szükségképpen a<c, a lehetséges 6 szorzat közül csak az 116 a kívánt a aac¯ alakú. Tehát b2=16, vagyis b=4, a=1, c=6.
Valóban 1, 4, 16, 64 megfelel a feladat követelményeinek.
 

Germadics Vilmos (Bp., I., István g. IV. o. t.)
 

II. megoldás. Ha a mértani sorozat hányadosát q-val jelöljük, akkor
aq2=b,(1)aq2=10a+c,(2)aq3=10c+b.(3)
(2) 10-szeresét kivonna (3)-ból és felhasználva (1)-t nyerjük, hogy
aq3-10aq2=aq-100a,
és így (mivel a0)
q3-10q2-q+100=0.(4)

(2)-ből következik, hogy q csak pozitív és (1)-ből, hogy csak racionális lehet, (4)-ből pedig következik ‐ mert q3 együtthatója 1 ‐ ha q racionális, akkor csak egész lehet, és csak 100 osztói közül kerülhet ki. Hamar meggyőződhetünk, hogy az 1, 2, 4, 5 értékek közül csak
q=4
elégíti ki (4)-et.
Mivel (3) szerint aq3=a64=10c+b, azért
a=1,c=6,b=4.

Detre Mária (Esztergom, 9. sz. gépip. t. III. o. t.)