Kezdőlap


Feladat:	699. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám Antal , Babocsay G. , Bartha Gyöngyi , Boschán P. , Cserteg I. , Csiszár Imre , Csiszár J. , Deres J. , Farkas Marianna , Grell M. , Gulácsy Sára , Gulyás Gyöngyi , Gyurkó Gy. , Heinemann Z. , Jáky Mária , Katz T. , Kerekes A. , Kismarty L. , Pilissy J. , Pleszkán I. , Pruzsina J. , Rázga T. , Reichmann R. , Rétey Piroska , Rockenbauer A. , Ruppenthal P. , Sáróy K. , Szabados J. , Szeidl B. , Szilárd A: , Szon Mjan Gil , Ullbrich Z. , Vajna Zs. , Wollner R.
Füzet:	1956/április, 101 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 699. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tekintsük a feladatot megoldottnak (1. ábra).

1. ábra

Legyen

k

A B C Δ

köré írt kör. Az

A D

egyenes metszéspontja

k

-val legyen

D'

. A húrok szeleteinek szorzatára vonatkozó tétel szerint

\begin{matrix} B D \cdot D C = A D \cdot D D' . \end{matrix}

De mivel másrészt a feladat követelménye szerint

\begin{matrix} B D \cdot D C = A D^{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} D D' = A D . \end{matrix}

Ennek alapján a szerkesztés:

A

-nak

C

-re vonatkozó

A'

tükörképén át párhuzamost húzunk a

B C

oldallal. E párhuzamos metszi ki a

k

körből a

D'_{1}

és

D'_{2}

pontokat.

A D'_{1}

és

A D'_{2}

-metszéspontjai

B C

-vel:

D_{1}

, ill.

D_{2}

feladatunk megoldásai.
A megoldhatóság feltétele: Legyen a

B A C ∢ = α

szögfelezőjének metszéspontja a

B C = a

oldallal

E

, a

k

körrel

F

. Megoldás akkor van, ha

f = A E \leq E F

.
De

A E \cdot E F = C E \cdot E B = a_{1} \cdot a_{2}

, és így a megoldhatóság feltétele így írható:

\begin{matrix} f^{2} \leq a_{1} a_{2} . \end{matrix}

A 688. feladatban bebizonyítottuk, hogy

\begin{matrix} f_{a}^{2} = b c - a_{1} a_{2}, \end{matrix}

és így a keresett feltétel

\begin{matrix} b c - a_{1} a_{2} \leq a_{1} a_{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{b c}{a_{1} a_{2}} = \frac{b}{a_{1}} \cdot \frac{c}{a_{2}} \leq 2. \end{matrix}

\frac{b}{a_{1}} = \frac{c}{a_{2}} = \frac{b + c}{a}

, ezért a feltétel

{(\frac{b + c}{a})}^{2} \leq 2

, és így

2

1

0

D

pont a szerkeszthető az

a

oldalon, aszerint, amint

\begin{matrix} b + c ⋚ a \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Megjegyzés: Könnyű belátni, hogy

α = 90^{\circ}

esetén az egyik

D

pont az átfogóra merőleges magasság talppontja, a másik az átfogó felezőpontja, vagyis a körülírt kör középpontja.

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.)

II. megoldás: Mint az I. megoldásban láttuk, a

D

pont a háromszög köré írt

K

középpontú kör egy

A

-ból kiinduló húrjának felezőpontja, s mint ilyen, rajta van a

K A

körsugár fölé rajzolt Thales-körön (2. ábra).

2. ábra

Tehát e kör metszi ki a

B C = a

oldalból a keresett

D

pontot.
2, 1 vagy 0 megoldás van aszerint, amint az

a

oldal távolsága a

K A

felezőpontjától

⋚ \frac{r}{2}

, ahol

r

a körülírt kör sugara.

Megjegyzés: Ha a

D

pont a

B C

oldal meghosszabbításán is lehet, akkor annak alapján, hogy a körön kívül fekvő pont hatványa egyenlő a pontból a körhöz húzott érintőszakasz négyzetével, az

A

pontban a körülírt körhöz szerkesztett érintő metszi ki az

a

oldalegyenesből a

D_{3}

megoldást (2. ábra). Ez a megoldás mindig van, kivéve, ha

b = c

, mikor is az érintő párhuzamos az egyenlő szárú háromszög

a

alapjával.

Ádám Antal (Bp. VIII., Széchenyi g. III. o. t.)