Kezdőlap


Feladat:	682. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bártfai Pál , Biczó Géza
Füzet:	1956/január, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Várható érték, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/április: 682. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Annyi számpárt húzhatunk ki, ahány másodosztályú kombináció (a sorrend ugyanis mellékes) képezhető $N$ elemből; tehát az összes lehetséges húzások száma $C_{N}^{2} = (\binom{N}{2}) = \frac{N (N - 1)}{2}$ , és így egy meghatározott számpár kihúzásának valószínűsége $\frac{1}{(\binom{N}{2})} = \frac{2}{N (N - 1)}$ .
A keresett várható érték:

\begin{matrix} M = v_{1} x_{1} + v_{2} x_{2} + ... + x_{i} + ... + v_{(\binom{N}{2})} x_{(\binom{N}{2})}, \end{matrix}

ahol

v_{1} = v_{2} = ... = v_{(\binom{N}{2})} = \frac{2}{N (N - 1)}

és

x_{i} (i = 1,2, ..., (\binom{N}{2}))

az összes

\frac{p}{q} < 1

tört,

p < N

q \leq N

feltétel mellett.
Tehát, ha az

x_{i}

törteket a nevezők nagysága szerint csoportosítjuk:

\begin{matrix} M = \frac{2}{N (N - 1)} [\frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + (\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}) + ... + \\ + (\frac{1}{N} + \frac{2}{N} + ... + \frac{N - 1}{N})] . \end{matrix}

Mivel (a számtani sorozat összegképletének felhasználásával)

\begin{matrix} \frac{1}{k} + \frac{2}{k} + ... + \frac{(k - 1)}{k} = \frac{1}{k} \cdot \frac{(k - 1) k}{2} = \frac{k - 1}{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} M = \frac{2}{N (N - 1)} \cdot \frac{1}{2} [1 + 2 + 3 + ... + (N - 1)] = \\ = \frac{2}{N (N - 1)} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(N - 1) N}{2} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Biczó Géza (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)

II. megoldás: Bármely ‐ a feltételeknek eleget tevő ‐ tört keletkezésének valószínűsége egyenlő. A várható érték tehát az összes lehetséges törtek számtani közepe, vagyis

\begin{matrix} M = \frac{t_{1} + t_{2} + ... + t_{k}}{k} . \end{matrix}

(1)

Könnyen belátható, hogy az

\begin{matrix} (1 - t_{1}), (1 - t_{2}), ..., (1 - t_{k}) \end{matrix}

sorozat ugyancsak az összes, feltételeinknek eleget tevő, törteket tartalmazza, tehát

\begin{matrix} M = \frac{(1 - t_{1}) + (1 - t_{2}) + ... + (1 - t_{k})}{k} . \end{matrix}

(2)

(1) és (2) összege

\begin{matrix} 2 M = \frac{1 + 1 + ... + 1}{k} = \frac{k}{k} = 1, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} M = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Bártfai Pál (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.)