Feladat: 682. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bártfai Pál ,  Biczó Géza 
Füzet: 1956/január, 10 - 11. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Várható érték, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/április: 682. matematika feladat

Egy urnában van N cédula 1-től N-ig megszámozva. Kihúznak találomra kettőt. Mennyi a kihúzott kisebb és nagyobb szám hányadosának várható értéke ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Annyi számpárt húzhatunk ki, ahány másodosztályú kombináció (a sorrend ugyanis mellékes) képezhető N elemből; tehát az összes lehetséges húzások száma CN2=(N2)=N(N-1)2, és így egy meghatározott számpár kihúzásának valószínűsége 1(N2)=2N(N-1).
A keresett várható érték:

M=v1x1+v2x2+...+xi+...+v(N2)x(N2),
ahol v1=v2=...=v(N2)=2N(N-1) és xi(i=1,2,...,(N2)) az összes pq<1 tört, p<N, qN feltétel mellett.
Tehát, ha az xi törteket a nevezők nagysága szerint csoportosítjuk:
M=2N(N-1)[12+(13+23)+(14+24+34)+...++(1N+2N+...+N-1N)].



Mivel (a számtani sorozat összegképletének felhasználásával)
1k+2k+...+(k-1)k=1k(k-1)k2=k-12,
azért
M=2N(N-1)12[1+2+3+...+(N-1)]==2N(N-1)12(N-1)N2=12.

 

Biczó Géza (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)
 

II. megoldás: Bármely ‐ a feltételeknek eleget tevő ‐ tört keletkezésének valószínűsége egyenlő. A várható érték tehát az összes lehetséges törtek számtani közepe, vagyis
M=t1+t2+...+tkk.(1)

Könnyen belátható, hogy az
(1-t1),(1-t2),...,(1-tk)
sorozat ugyancsak az összes, feltételeinknek eleget tevő, törteket tartalmazza, tehát
M=(1-t1)+(1-t2)+...+(1-tk)k.(2)

(1) és (2) összege
2M=1+1+...+1k=kk=1,
és így
M=12.

Bártfai Pál (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.)