Kezdőlap


Feladat:	816. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csanádi Gy. , Grüneberg Gabriella , Herbst D. , Hümpfner Olga , Jachja L. , Paál S. , Pick Gy. , Porges A. , Singer I. , Verebély L. , Vozáry P. , Ökrös Jenő
Füzet:	1933/október, 32 - 33. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/május: 816. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $u$ és $v$ pozitív egész számok, követelményünk értelmében

\begin{matrix} x = n + u és y = n + v . \end{matrix}

Így

u

és

v

kielégíteni tartoznak az

\begin{matrix} \frac{1}{n + u} + \frac{1}{n + v} > \frac{1}{n} vagyis \frac{2 n + u + v}{(n + u) (n + v)} > \frac{1}{n}, \end{matrix}

II. a

\begin{matrix} 2 n^{2} + n (u + v) > n^{2} + n (u + v) + u v \end{matrix}

azaz az

\begin{matrix} u v < n^{2} \end{matrix}

egyenlőtlenséget. Ha pl.

n = 6

, akkor

u v < 36

, tehát az

u v

szorzat értéke legfeljebb 35; eszerint

\begin{matrix} u v = 1, 2, 3, ... 34, 35. \end{matrix}

Ökrös Jenő (Klauzál Gábor rg. VI. o. Szeged)

Jegyzet. Általában, ha

u v = n^{2} - 1

, akkor lehet

u = n + 1

és

v = n - 1

; tehát mindig igaz:

\begin{matrix} \frac{1}{2 n - 1} + \frac{1}{2 n + 1} > \frac{1}{n} . \end{matrix}

A feladatnak sok megoldása van, de ezek száma véges.

x

és

y

értékei az

n = 6

esetében 7 és 41 között vannak, de úgy, hogy

(x - 6) (y - 6) < 36