Kezdőlap


Feladat:	626. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baneth L. , Bucsy J. , Csepeti János , Deutsch E. , Eisner Ferenc , Erdélyi Erna , Hegedüs T. , Hiros F. , Hohmann K. , Jahoda A. , Kalán J. , Kürti J. , Lehel P. , Réffy K. , Rosta F. , Semadam E. és K. , Singer I. , Sohr Anna , Spitz M. , Stekler E. , Stolcz T.
Füzet:	1931/szeptember, 4 - 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/április: 626. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. $1^{\circ}$ . Az $f (x) = 0$ egyenlet gyökei valósak, ha

\begin{matrix} D = 64 k^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16 ≧ 0, ha tehát k^{2} ≧ 25. \end{matrix}

Ez bekövetkezik, ha

k ≦ - 5

vagy ha

k ≧ 5

2^{\circ}

. Az

f (x) = 0

egyenlet gyökei legyenek

x_{1}

és

x_{2}

, továbbá

\begin{matrix} α = x_{1} + 2 és β = x_{2} + 2. \end{matrix}

α

és

β

gyökei az

\begin{matrix} x^{2} - (α + β) x + α β = 0 \end{matrix}

egyenletnek. Azonban:

\begin{matrix} α + β = (x_{1} + x_{2}) + 4 = - \frac{8 k}{25} + 4 = \frac{- 8 k + 100}{25} . \\ α β = x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) + 4 = \frac{16}{25} - \frac{16 k}{25} + 4 = \frac{116 - 16 k}{25} . \end{matrix}

Helyettesítve

α + β

és

α β

értékét, a keresett egyenlet lesz:

\begin{matrix} x^{2} + \frac{8 k - 100}{25} x + \frac{116 - 16 k}{25} = 0 ill. 25 x^{2} + (8 k - 100) x + 116 - 16 k = 0. \end{matrix}

Eisner Ferenc (felsőkeresk. isk. II. évf. Pécs.).

II. Megoldás.

2^{\circ}

. Ha az adott egyenlet gyöke

x

és a keresett egyenleté

y

akkor

y = x + 2

vagyis

x = y - 2

. Helyettesítve tehát

x

helyébe

(y - 2)

-t:

\begin{matrix} 25 {(y - 2)}^{2} + 8 k (y - 2) + 16 = 0. \end{matrix}

A kijelölt műveleteket végrehajtva és rendezve:

\begin{matrix} 25 y^{2} + (8 k - 100) y + 116 - 16 k = 0. \end{matrix}

Csepeti János (Zrínyi Miklós rg. VI. o.Bp. VIII.).

Jegyzet. Néhány megoldásban a

k^{2} > 25

egyenlőtlenség, ill. egyenlet megoldásánál megelégednek a

k ≧ 5

megállapítással. A

k ≦ - 5

és

k ≧ 5

feltételeket nem szabad

\begin{matrix} - 5 ≧ k ≧ + 5 \end{matrix}

alakban összefoglalni, mert ez azt jelentené, hogy

k

egyidejűleg kisebb

- 5

-nél és nagyobb

+ 5

-nél; ez pedig lehetetlen.