Feladat: 1484. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baán S. ,  Bizám György ,  Csáki Frigyes ,  Deák András ,  Forgács Péter ,  Freud Géza ,  Hoffmann Tibor ,  Horváth M. ,  Josepovits Gyula ,  Klein József ,  Lang I. ,  Lőke Endre ,  Margulit György ,  Nádler Miklós ,  Relle F. ,  Sándor Gyula ,  Taksony György ,  Volena-Koczor Imre 
Füzet: 1939/március, 174 - 175. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1939/január: 1484. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Állapítsuk meg a nevező zérus helyeit. 2x4+x2-1=0, ha x2=-1±1+84. Valós x értékeket szolgáltat

x2=-1+34=12,azazx=±22±0,707.

Eszerint a függvénynek x1=-22 és x2=+22 helyeken szakadása van; minden más helyen - és + között a függvény folytonos.
A függvény változásának megállapítására számítsuk ki differenciálhányadosát:

y'=(2x4+x2-1)(8x3+16x)-(2x4+8x2+3)(8x3+2x)(2x4+x2-1)2==-2x14x4+16x2+11(2x4+x2-1)2=-2xg(x).


g(x) oly törtet jelez, mely x minden értékénél pozitív. Ugyanis a számláló x2 másodfokú függvénye, melynek discriminánsa 16-41411<0, tehát előjele állandó és megegyezik x4 együtthatójának előjelével. A nevező is pozitív; a fenti x1 és x2 helyeken eltűnik, úgy, hogy x1 helyen y'=+, míg x2 helyen y'=-.
y'=0 az x=0 helyen és itt pozitív értékekből megy át negatív értékekbe, tehát x=0 helyen a függvénynek maximuma van és ymax=-3.
y'>0,hax<0ésy'<0,hax>0.

Ha x±, akkor y1 és y'=0; az y=1 egyenes a görbének aszimptotája, az X-tengely mindkét oldalán.
Minthogy a függvényben x-nek csak páros kitevőjű hatványai szerepelnek, a függvény értéke +x és -x helyeken egyenlő: a görbe az Y tengelyre nézve szimmetrikus. A két szakadási helyen az x=-22 és x=+22 egyenesek szintén aszimptoták. A görbe tehát három ágból áll.
A függvény változását feltüntető táblázat:
 

x--220+22+y'0+++0---0y1+|--3max-|+1

 

 

Klein József (Izr. g. VIII. o. Debrecen.)