Kezdőlap


Feladat:	1403. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Anda J. , Berger Tibor , Bluszt Ernő , Csuri Vilmos , Demény Jolán , Egri J. , Fonó András , Fonó Péter , Freud Géza , Gállik J. , Gáspár Rezső , Grosz L. , Hörcher J. , ifj. Seidl Gábor , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Schmidt Tibor , Szerényi László , Taksony György , Varga Irén
Füzet:	1938/április, 241 - 242. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Mértani sorozat, Számelméleti függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/február: 1403. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adataink szerint

\begin{matrix} f (2) = 2 f (1) + 1 = 2 f (1) + {(- 1)}^{2} ... \end{matrix}

(1)

Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} f (n) = 2 f (n - 1) + {(- 1)}^{n} ... \end{matrix}

(2)

A feltétel szerint:

\begin{matrix} f (n + 1) = 2 f (n - 1) + f (n) ... \end{matrix}

(3)

Ha azonban 2) igaz, akkor

\begin{matrix} 2 f (n - 1) = f (n) - {(- 1)}^{n} . \end{matrix}

Ezt 3)-ba helyettesítjük:

\begin{matrix} f (n + 1) = f (n) - {(- 1)}^{n} + f (n) = 2 f (n) + {(- 1)}^{n + 1} ... \end{matrix}

(4)

Ha tehát a (2) igaz, igaz (4) is. Minthogy a függvény értéke (1) szerint számítható ki

n = 2

esetében, ugyanezen törvényszerűség szerint számítható

f (3)

f (4)

s. í.t.

f (n)

is. Már most

\begin{matrix} f (n) & = 2 f (n - 1) + {(- 1)}^{n} = 2^{2} f (n - 2) + 2 {(- 1)}^{n - 1} + {(- 1)}^{n} = \\ = 2^{3} f (n - 3) + 2^{2} {(- 1)}^{n - 2} - 2 {(- 1)}^{n - 1} + {(- 1)}^{n} = ... = \\ = 2^{n - 2} f (2) + 2^{n - 3} {(- 1)}^{3} + 2^{n - 4} {(- 1)}^{4} + ... + 2^{0} {(- 1)}^{n} = \\ = 2^{n - 1} + 2^{n - 2} + 2^{n - 3} {(- 1)}^{3} + ... + 2^{n - 4} {(- 1)}^{4} + ... + 2^{0} {(- 1)}^{n} . \end{matrix}

n

páratlan

\begin{matrix} f (n) = 2^{n - 1} + (2^{n - 2} - 2^{n - 3}) + (2^{n - 4} - 2^{n - 5}) + ... + (2 - 1) = \\ = 2^{n - 1} + 2^{n - 3} + 2^{n - 5} + ... + 2^{4} + 2^{2} + 1. \end{matrix}

Itt oly mértani haladvánnyal van dolgunk, amelynek első tagját

1

-et tekintve, a hányados

2^{2}

és a tagok száma:

\frac{n - 1}{2} + 1

. Így a sor összege

\begin{matrix} f (n) = \frac{2^{2} (\frac{n - 1}{2} + 1) - 1}{2^{2} - 1} = \frac{2^{n + 1} - 1}{3} = \frac{2^{n + 1} + {(- 1)}^{n}}{3} . \end{matrix}

Ha pedig a páros, akkor

\begin{matrix} f (n) & = 2^{n - 1} + (2^{n - 2} - 2^{n - 3}) + (2^{n - 4} - 2^{n - 5}) + ... + (2^{2} - 2) + 1 = \\ = 2^{n - 1} + 2^{n - 3} + 2^{n - 5} ... + 2^{3} + 2 + 1 = \\ = 2 [2^{n - 2} + 2^{n - 4} + 2^{n - 6} ... + 2^{2} + 1] + 1 = \\ = 2 \frac{2^{2} (\frac{n - 2}{2} + 1) - 1}{2^{2} - 1} + 1 = 2 \frac{2^{2 n} - 1}{3} + 1 = \frac{2^{n + 1} - 2}{3} + 1 = \\ = \frac{2^{n + 1} + 1}{3} = \frac{2^{n + 1} + {(- 1)}^{n}}{3} . \end{matrix}

Eszerint, akár páros az

n

, akár páratlan

\begin{matrix} f (n) = \frac{2^{n + 1} + {(- 1)}^{n}}{3} . \end{matrix}

Taksony György (ág. ev. g. VII. o. Bp.)