Feladat: 1394. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Berger Tibor ,  Bluszt Ernő ,  Csáky Gy. ,  Csuri Vilmos ,  Czuczy Gy. ,  Fehér György ,  Fonó Péter ,  Gáspár Rezső ,  Grosz L. ,  Grünfeld Sándor ,  Hajnal M. ,  Kemény György ,  Klein József ,  Mandl P. ,  Marosán Zoltán ,  Nagy Elemér ,  Papp I. ,  Sándor Gyula ,  Schreiber Béla ,  Sebestyén Gyula ,  Serényi L. ,  Székely Z. ,  Szentmiklósi László 
Füzet: 1938/március, 214 - 215. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Komplex számok trigonometrikus alakja, Egységgyökök, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/január: 1394. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Minthogy cos6π7=-cosπ7,

cos2π7cos4π7cos6π7=-cosπ7cos2π7cos4π7=-sin2π72sinπ7cos2π7cos4π7==-sin4π7cos4π74sinπ7=-sin8π78sinπ7=sinπ78sinπ7=18.



Szentmiklósi László (Kossuth Lajos g. VIII. o. Pestszenterzsébet).
 

Jegyzet. Az A=cosαcos2αcos3α szorzat átalakítható így is:
A=12(cos3α+cosα)cos3α=12(cos23α+cosαcos3α)==14(1+cos6α+cos4α+cos2α).



Ha α=2π7, akkor az 1372. feladat szerint
cos6α+cos4α+cos2α=cosα+cos2α+cos3α=12
és így
A=14(1-12)=18.

Fonó Péter (Verbőczy István g. VII. o. Bp. I.).
 

II. Megoldás. Ismeretes, hogy
x7-1=(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1).
Az
x6+x5+x4+x3+x2+x+1=0...(4)
egyenlet gyökei: cos2kπ7+isin2kπ7, k=1,2,3,4,5,6.
A (4) egyenlet ú. n. reciprok egyenlet, mely x3-ével való osztás útján
(x3+1x3)+(x2+1x2)+(x+1x)+1=0...(5)
alakra hozható. Legyen most x+1x=y,
tehát y3=(x+1x)3=x3+1x3+3(x+1x), azaz x3+1x3=y3-3y,
y2=(x+1x)2=x2+1x2+2  és így  x2+1x2=y2-2.
Helyettesítve ezeket (5)-be:
y3-3y+y2-2+y+1=0  vagy  y3+y2-2y-1=0...(6)

A (6) egyenlet gyökei:
y=x+1x=(cos2kπ7+isin2kπ7)+(cos2kπ7-isin2kπ7)1=2cos2kπ7
jelentéssel bírnak, ahol k=1,2,3 (vagy k=4,5,6,). 1
A (6) egyenlet gyökeinek szorzata:
2cos2π72cos4π72cos6π7=1,azazcos2π7cos4π7cos6π7=18.

Sebestyén Gyula (Fazekas Mihály g. VIII. o. Debrecen).

11x=x-1=cos2kπ7-isin2kπ7=cos2(7-k)π7+isin2(7-k)π7.