Kezdőlap


Feladat:	1297. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almássy György , B. Major P. , Babiczky B. , Bálint Gy. , Barna Tibor , Bencze József , Bluszt Ernő , Demény Jolán , Donáth Géza , Esztó Zoltán , Farkas Imre , Fehér György , Fonó Péter , Frankl Ottó , Gálfi János , Gállik J. , Gerő B. , Gilyén J. , Grosz László , Harsányi János , Herczeg Gy. , Holzer Pál , Hörcher János , ifj. Puky Gy. , ifj. Seidl Gábor , Krisztonosich Jenő , Ktumpholtz T. , Lóránd Endre , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Németh E. , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Papp István , Pappert T. , Petheő T. , Radovics György , Régeni L. , Rusznák I. , Sájermann János , Sándor Gyula , Schläffer Ödön , Schwarz János , Sebestyén Gyula , Stachó T. , Szél Gy. (Érseki kath. gimn.) , Szelei Gy. , Szerényi László , Szűcsi István , Tarnóczy Loránt , Taussig F. , Than Károly , Tóth Miklós , Tölösi Márta , Törös Anna , Vajda József , Varga Irén
Füzet:	1937/április, 243. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat, Számsorozatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1297. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyjegyű számok: $1, ... 9$ ; ezek száma $9 = 9 \cdot 10^{0}$ .
A kétjegyű számok: $10, ... 99$ ; ezek száma $99 - 9 = 90 = 9 \cdot 10^{1}$ .
A háromjegyű számok: $100, ... 999$ ; ezek száma $999 - 99 = 900 = 9 \cdot 10^{2}$ .
Az $n$ jegyű számok: $10^{n - 1}, ... 99$ , $... 9_{}^{⌣_{}^{n}}$ ; ezek száma $9 \cdot 10^{n - 1}$ . ^{$^{*}$}

Ezen számok felírásához szükséges számjegyek száma

\begin{matrix} S & = 1 \cdot 9 \cdot 10^{0} + 2 \cdot 9 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 9 \cdot 10^{2} + ... + n \cdot 9 \cdot 10^{n - 1} = \\ = 9 (1 \cdot 10^{0} + 2 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{2} + ... + n \cdot 10^{n - 1}) . \end{matrix}

A zárójelben álló összeg az

\begin{matrix} 1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1} \end{matrix}

kifejezés értéke, ha

x = 10

. Azonban

\begin{matrix} 1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1} = \frac{d}{d x} (x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n}) = \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{n + 1} - x}{x - 1} = \\ = \frac{[(n + 1) x^{n} - 1] (x - 1) - (x^{n + 1} - x)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n} + 1}{{(x - 1)}^{2}} . \end{matrix}

Ha most

x = 10

, akkor

\begin{matrix} S = 9 \frac{n \cdot 10^{n + 1} - (n + 1) 10^{n} + 1}{9^{2}} = \frac{10 n \cdot 10^{n} - (n + 1) 10^{n} + 1}{9} = \\ = \frac{1}{9} [(9 n - 1) 10^{n} + 1] . \end{matrix}

Nagy Elemér (Ciszterci Szent Imre rg. VII. o. Bp.).

A feladatot úgy is fel lehetett fogni, hogy

10^{n}

jegyeinek számát is hozzászámítjuk az

S

összeghez. Többen ilyen értelemben oldották meg.

^{$^{*}$}Az

1, 2, ..., 9

jegy mindegyikéhez hozzáfűzhetjük az

0, 1, 2, ..., 9

, azaz

10

elem

(n - 1)

-ed oszt. ismétléses variációit.