Kezdőlap


Feladat:	1274. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Barna Tibor , Bencze József , Bluszt Ernő , Frankl Otto , Földesi Tamás , Harsányi János , Holzer Pál , Huhn Péter , Hörcher János , ifj. Seidl Gábor , Kádár Géza , Kolostori J. , Komlós János , Kondor István , Lóránd Endre , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Németh K. , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Papp István , Polgár Gy. , Radovics György , Ság I. , Sájermann János , Sándor Aranka , Schwarz János , Sebestyén Gyula , Somogyi Antal , Szegfű A. , Szűcsi István , Tarnóczy L. , Tésy Gabriella , Vajda József
Füzet:	1937/február, 177 - 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1274. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Jelölje $t$ a háromszög területét és tekintsük az

\begin{matrix} y = t^{2} = s (s - a) (s - b) (s - c) . \end{matrix}

Adataink szerint

b = k c

és

\begin{matrix} 2 s = a + k c + c = a + (k + 1) c; 2 (s - a) = (k + 1) c - a; \end{matrix}

2 (s - b) = a - (k - 1) c; 2 (s - c) = a + (k - 1) c

.

Így

\begin{matrix} 8 y = [{(k + 1)}^{2} c^{2} - a^{2}] [a^{2} - {(k - 1)}^{2} c^{2}] \end{matrix}

\begin{matrix} 8 y = - {(k^{2} - 1)}^{2} c^{4} + 2 (k^{2} + 1) a^{2} c^{2} - a^{4} . \end{matrix}

Eszerint

y

oly másodfokú függvénye

c^{2}

-nek, amelynek maximuma van, ha

\begin{matrix} c^{2} = \frac{(k^{2} + 1) a^{2}}{{(k^{2} - 1)}^{2}} . \end{matrix}

Lóránd Endre (Kemény Zsigmond rg. VIII. o. Bp. VI.).

II. Megoldás. Minthogy az

A B C Δ B C = a

oldala adott, az

A

csúcsra nézve pedig

\begin{matrix} A C : A B = k : 1, \end{matrix}

A

pont mértani helye egy Apollónius-féle kör. Ezen kör

O

középpontja a

B C

egyenesen fekszik és ezt a

D

és

E

pontokban metszi úgy, hogy¹

\begin{matrix} B D : D C = 1 : k és B E : C E = 1 : k . \end{matrix}

Minthogy²

\begin{matrix} B D + D C = a, azért B D = \frac{a}{1 + k}, D C = \frac{a k}{1 + k}, \\ B E - C E = a, ezért B E = \frac{a}{1 - k}, C E = \frac{a k}{1 - k} . \end{matrix}

A szóbanforgó kör átmérője

D C + C E - \frac{2 a k}{1 - k^{2}}

.
Az

A B C