Kezdőlap


Feladat:	1003. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Apor Gy. , Bálint J. , Bauer Gy. , Bereghy Irén , Bévárdy Magda , Csanádi Gy. , Cseicsner R. , Czégé I. , Deutsch E. , Faltusz E. , Fenyő I. , Füves I. , Gaszner Nóra , Gribács L. , Győző Ferenc , Kádár Gy. , Kálmán L. , Kiss T. , Kovács P. , Oestreicher J. , Paál S. , Preszmayer K. , Róth Gy. , Simonyi K. , Spitz M. , Steiner Z. , Személyi K. , Turda E. , Vámos Ilona
Füzet:	1934/május, 264 - 265. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Határozott integrál, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/március: 1003. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $y^{2} = 4 x$ parabola tengelye az $X$ -tengely, csúcsa a $(0,0)$ pont. Az $y^{2} = 2 x + 5$ parabola tengelye szintén az $X$ -tengely, csúcsa a $(- 2, 5,0)$ pont. A két görbe közös pontjaira nézve

\begin{matrix} 4 x = 2 x + 5, azaz x = 2, 5. \end{matrix}

A két görbe közös pontjai eszerint az

x = 2, 5

egyenesen feküsznek; ezen egyenes, mely közös tengelyükre merőleges, mindkét parabolából egy-egy szeletet határoz meg; a szóban forgó síkrész területe ezen két szelet területének különbsége.
Az

y^{2} = 4 x

, ill. az

y^{2} = 2 x + 5

parabolából az

x = 2, 5

egyenes oly szeletet vág le, amelynek területe

\begin{matrix} t_{1} = 2 \int_{0}^{2, 5} \sqrt[]{4 x} d x, ill. t_{2} = 2 \int_{- 2, 5}^{2, 5} \sqrt[]{2 x + 5} d x . \end{matrix}

Minthogy

t_{2}

magában foglalja a

t_{1}

-et, a keresett terület

t = t_{2} - t_{1}

. Azonban

\begin{matrix} t_{2} & = 2 \int_{- 2, 5}^{2, 5} \sqrt[]{2 x + 5} d x = 2 {[\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \sqrt[]{{(2 x + 5)}^{3}}]}_{- 2, 5}^{2, 5} = \frac{2}{3} \sqrt[]{10^{3}} \\ t_{1} & = 2 \int_{0}^{2, 5} \sqrt[]{4 x} d x = 2 {[\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \sqrt[]{{(4 x)}^{3}}]}_{0}^{2, 5} = \frac{1}{3} \sqrt[]{10^{3}} \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} t = t_{2} - t_{1} = \frac{1}{3} \sqrt[]{10^{3}} \approx 10, 54. \end{matrix}

Győző Ferenc (Koháry István rg. VII. o. Gyöngyös.)