Kezdőlap


Feladat:	984. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Buresch R. , Csanádi Gy. , Czégé I. , Deutsch E. , Erőd J. , Füves I. , Holló Ágnes , Jász L. , Kiss T. , Paál S. , Pikler F. , Pulay M. , Scheffer K. , Spitz M. , Steiner Z. , Személyi K. , Taskó György , Vankó R. , Wagner W. , Weiszfeld E.
Füzet:	1934/március, 200 - 201. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Négyzetek, Hiperbola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/január: 984. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk a négyzet $O A$ , $O B$ oldalait tartó egyeneseket koordinátarendszerünk tengelyei gyanánt. Legyen a feltételeknek megfelelő $P$ pont egyelőre a négyzet belsejében; ennek távolsága a négyzet $O A$ , ill. $O B$ oldalától $d_{1}$ ill. $d_{2}$ és az $O$ csúccsal szemben fekvő $C$ csúcstól való távolsága legyen $r$ . Feltételünk szerint

\begin{matrix} d_{1} + d_{2} = r \end{matrix}

(1)

és kiemeljük, hogy

d_{1}, d_{2}

távolságokat csak abszolút értékükkel értelmezzük.
Azonban

d_{1}

d_{2}

P

pont

(x, y)

koordinátái:

d_{1} = x

d_{2} = y

. Ha a négyzet oldala

a

, akkor a

C

pont koordinátái

(a, a)

úgy, hogy

\begin{matrix} r = \sqrt[]{{(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2}} és így x + y = \sqrt[]{{(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2}} \end{matrix}

(2)

lesz azon egyenlet, mely a

P

pont koordinátái között fennáll. Négyzetre emelés és összevonás után a (2) egyenletből

\begin{matrix} y = \frac{a (a - x)}{x + a} . \end{matrix}

(3)

Nyilván egyenlő oldalú hiperbolának egyenletét kaptuk, melynek aszimptotái az

x = - a

y = - a

, a négyzet

O A

ill.

O B

oldalaival párhuzamos egyenesek. Tehát középpontjának koordinátái:

(- a, - a)

. Valós tengelye az

y = x

egyenesen fekszik és egyik gyújtópontja a négyzet

C

csúcsa. (Következik a 972. feladatból is!).

A hiperbolának a négyzeten belül fekvő ívén minden pont kielégíti a (2) ill. (1) feltételt. A hiperbola azon ágának többi pontjai, melyhez az előbbi ív tartozik, kielégítik a (2), de nem elégítik ki az (1) egyenletet, mert ezekre nézve

\begin{matrix} vagy d_{1} = x és d_{2} = - y vagy d_{1} = - x és d_{2} = y . \end{matrix}

Tehát ezekre nézve

| d_{1} - d_{2} | = r

.

A hiperbola másik ága a sik azon részében fekszik, ahol

x < 0

és

y < 0

.
Ezen ág pontjaira nézve

d_{1} = - x

és

d_{2} = - y

. Ha a (2) egyenlet egyik oldalát ellenkező előjellel vesszük, négyzetre emelés után ugyancsak a (3)-hoz jutunk, de ekkor az (1) is ki van elégítve.
A

P

pont mértani helye tehát két részből áll az egyik a hiperbolának a négyzeten belül eső íve, a másik a hiperbolának azon egész ága, mely a sík III. negyedében fekszik.

Taskó György (Szent László rg. VIII. o. Bp. X.)