Kezdőlap


Feladat:	Metresis 35. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 50 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, A komplex szám algebrai alakja, Komplex számok trigonometrikus alakja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 35. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldva az egyenletet $x^{3}$ szerint, lesz belőle

\begin{matrix} x^{3} = 1 \pm \sqrt[]{1 - 5} \end{matrix}

\begin{matrix} x^{3} = 1 \pm 2 i \end{matrix}

s így tehát

\begin{matrix} x = \sqrt[3]{1 \pm 2 i} \end{matrix}

x

-nek ezen értékét azonban a következő alakok egyikére kell hoznunk:

\begin{matrix} a + b i vagy r (cos φ + i sin φ) \end{matrix}

Legyen

\begin{matrix} i \pm 2 i = R cos τ \pm i (sin τ) \end{matrix}

miből

\begin{matrix} R cos τ = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} R \end{matrix}

Ezen egyenletekből:

\begin{matrix} R^{2} = 5 \end{matrix}

\begin{matrix} R = \sqrt[]{5} \end{matrix}

és

\begin{matrix} sin τ = \frac{2}{\sqrt[]{5}}, cos τ = \frac{1}{\sqrt[]{5}} \end{matrix}

\sqrt[3]{1 + 2 i} = \sqrt[3]{R cos τ \pm i (sin τ)}

három értéke ekkor a M o i v r e - t é t e l e alapján* a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} \sqrt[3]{R} (cos \frac{τ + 2 k τ}{3} \pm i sin \frac{τ + 2 k τ}{3}) \end{matrix}

\begin{matrix} k = 0, 1, 2 \end{matrix}

vagy részletesen

\begin{matrix} \sqrt[6]{5} (cos τ \pm i sin τ) \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[6]{5} [cos (τ + \frac{2 π}{3}) \pm i sin (τ + \frac{2 π}{3})] \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[6]{5} [cos (τ + \frac{4 π}{3}) \pm i sin (τ + \frac{4 π}{3})] \end{matrix}

hol

τ

értéke a

tan τ = 2

értelmében:

\begin{matrix} τ = 63^{\circ} 26' 58'' . \end{matrix}

*) König Gyula: Bevezetés a felsőbb algebrába, p. 114.