Feladat: Metresis 35. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 50 - 51. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenletek, A komplex szám algebrai alakja, Komplex számok trigonometrikus alakja, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 35. feladata

Meghatározandók az
x6-2x3+5=0
egyenlet gyökei.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldva az egyenletet x3 szerint, lesz belőle

x3=1±1-5
x3=1±2i
s így tehát
x=1±2i3
Az x-nek ezen értékét azonban a következő alakok egyikére kell hoznunk:
a+bi  vagy  r(cosφ+isinφ)
Legyen
i±2i=Rcosτ±i(sinτ)
miből
Rcosτ=1
Rsinτ=2
Ezen egyenletekből:
R2=5
R=5
és
sinτ=25,cosτ=15
A 1+2i3=Rcosτ±i(sinτ)3 három értéke ekkor a M o i v r e - t é t e l e alapján* a következő alakot nyeri:
R3(cosτ+2kτ3±isinτ+2kτ3)
k=0,1,2
vagy részletesen
56(cosτ±isinτ)
56[cos(τ+2π3)±isin(τ+2π3)]
56[cos(τ+4π3)±isin(τ+4π3)]
hol τ értéke a tanτ=2 értelmében:
τ=6326'58''.

*) König Gyula: Bevezetés a felsőbb algebrába, p. 114.