A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az adott ellipsis egyenlete Az egyenesé A kívánt kör egyenlete az ellipsis kerületében egy pont, melyből a körhöz vont érintő hosszának négyzete pontnak az egyenestől mért távola Feltétel szerint hol állandó szám. Ez egyenlőségnek bármely helyzete mellett állania kell, tehát érvényes akkor is, ha a főtengelyek végpontjaiban képzeljük, mely esetekre E három egyenletből számértéke és nagysága meghatározható s a következő értékek erednek az excentricitas szám-értéke vagy ha elébbi értékét helyettezzük Minthogy értéke valódi tört, a kör középpontja mindig az egyenes és az ellipsis középpontja közé esik s az távolságot | | Tehát a kör középpontja egyszerűen szerkeszthető, ha a gyűjtőpontot a kis féltengely végpontjával összekötvén az átfogóra -et felrakjuk s a származott háromszöghöz hasonlót szerkesztünk. E derékszögű háromszög csúcsából az átfogóra merőlegest bocsátván a gyűjtőpontnak e merőleges talppontjától mért távola értékéből kiolvasható, hogy csak addig valós, míg a mi a középpontnak a gyűjtőpont és az ellipsis középpontja között fekvését követeli. | |
Ez esetben a megfelelő egyenes a directrix. Az ellipsis és a kör kölcsönös fekvését vizsgálván a | | egyenletekből eliminatioja után: ered, ami azt mondja, hogy a kör az ellipsist pontokban mindig érinti, tehát mindig egész terjedelmében az ellipszisen belől fekszik. Egyszersmind az is kitűnik ebből, hogy úgy a kör, mint az ellipszis a feladat lehető volta esetében az egyenest érintkezéspontjukban vágják. Az érintéspont azonban csak addig valós, míg azontúl képzetes. Ha egyenes a kis tengelyre merőleges, egyenlete: A kör egyenlete: az ellipszis tetszésszerint vett pontja: Feltétel szerint Ezen egyenlet helyes marad és bármely értékénél, melyek az ellipsis egyenletét kielégítik, tehát ha a főtengelyek végpontjaiban van is, midőn: mely egyenletekből: | | értékéből következik, hogy ez esetben a kör középpontja mindig kívül esik, az egyenes és az ellipsis középpontja meghatározták közön s pedig az ellipszis középpontjától ellenkező oldalon, mint az egyenes. E pont az távolságot arányban osztja. értéke mutatja, hogy a kör mindig lehetséges és a sugár értékével nagyobbodik. Természetes, hogy ez esetben maximumról nem lehet szó. Az ellipszis és kör kölcsönös fekvését vizsgálván, a | | egyenletekből eliminácziója után: ered, ami azt mondja, hogy a kör az ellipsist mindig érinti pontokban. Az érintés valóban csak addig lehetséges, míg elébbi értéke valós, tehát , azaz: míg az egyenes az ellipszist érinti vagy metszi. Ha azonban ez nem történik a kör az ellipszist nem érinti s az egyenest nem metszi. Ez esetben a körnek egy pontja sincs az ellipsisen belül, hanem az utóbbi egész terjedelmében a körön belül fekszik.
Nyomatott Gross Testvéreknél Győrött. GEOMETRIA. 34. Folytatás.
II. Legyen a két egyenes: s a megfelelő körök | | A centralis egyenlete: egyszerűen a középpontok coordinátái alapján képezve. Ez egyenlet könnyen hozható következő alakra: ha helyettezést teszünk. De az utóbbi alak világosan mutatja, hogy a centralis mindig átmegy az egyenesek metszéspontján. Az eddigiek alapján egyszerűen, minden számítás nélkül következik, hogy ha az elébbi körök érintkeznek, ez érintkezés csak az ellipszis kerületében történhetik, tehát a körök egyidejűleg az ellipszist is érintik, mivel pedig a megfelelő egyenesek mindig a kör és ellipszis érintkezéspontján mennek át, ezek metszése szintén az ellipszis kerületében történik mindig, azaz pont geometriai helye maga az ellipszis. Ha a körök közös szelője átmegy ponton, akkor az elébbi meggondolásokból következik, hogy e közös szelő mindig érintője az ellipszisnek is a pontban, tehát a geometriai hely ismét az elébbi: maga az ellipszis. Ez állításokat analytikailag is igazolhatjuk. A két kör érintkezésének föltétele: | | mert a kisebb kör a nagyobban fekszik, tehát csak belől érintheti a nagyobbat. A kifejezést rationalissá téve: ered, ami és változókban az adott ellipszis egyenlete. A két kör közös szelőjének egyenlete: | | s így ha ez átmegy ponton: következik, ami szintén az ellipszis egyenlete változókban.
III. Legyen két a nagy tengelyre merőleges egyenes egyenlete. A megfelelő körök: | | és | | egyenletekben advák. Feltétel szerint: azaz: Ha pont az egyenesek közé esik, akkor pl. vagy fordítva. De ez esetben különböző előjelűek úgy, hogy: veendő, hogy a és távolságok pozitív értékek legyenek. E két egyenletből pedig. állandó. Ha pontot az egyenesek meghatározták távon kívül esik: áll. Úgyde az esetben mindig egyenlő jelűek és így pl.: honnan: állandó. Ha az egyenesek a kis tengelyre merőlegesek, tehát: egyenletekben adván és a megfelelő körök egyenletei: | | és | |
Feltétel szerint: honnan az érintők képzetesek, a mi természetes, mert, mint kimutattuk ez esetben az ellipszis minden pontja a körökön belől fekszik. Ha azonban -et absolut értékében vesszük, akkor és a köröknek ponton átmenő átmérőjére e pontban emelt merőleges hurok felét jelentik, vagyis a tétel ez esetben így fogalmazható: Ha és a kis tengelyre merőleges egyenesek s és a megfelelő körök, akkor az ellipszis egy tetszésszerinti pontján átmenő átmérőkre ez pontban emelt merőleges hurok összege vagy különbsége állandó, a szerint, amint az pont által leírt ellipsis ív az egyenesek közé esik vagy sem. Ha tehát ez esetre és az illető félhúrokat jelentik, melyek értékei: egyenlőségekből következnek, a feltételek így alakulnak: Ha most pont az egyenesek közé esik, az az: az és különbségek ellenkező előjelűek s így és positív voltára: értékek veendők honnan: állandó, míg ha az egyeneseken kívül esik, tehát pl: egyenlőtlenségek állanak: veendők, honnan: állandó, s így az értékek kétszerese is, a mi az állítás helyes voltát igazolja. A feladat a hyperbola esetében teljesen egyező eredményeket ad, azonban az utolsó tétel módosított alakja nélkül. Az eredmények egyszerűen felírhatók, ha az előbbiekben helyett -őt teszünk, vagy ami mindegy: -t -vel cseréljük fel s az eredményeket megfelelő módon értelmezzük. Itt a megfelelő körök sugarainak csak alsóhatára van. |
|