Kezdőlap


Feladat:	Metresis 34. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 53 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 34. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott ellipsis egyenlete

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} \end{matrix}

Az egyenesé

\begin{matrix} x - m = 0 \end{matrix}

A kívánt kör egyenlete

\begin{matrix} {(x - p)}^{2} + y^{2} = ζ^{2} \end{matrix}

M (x . y)

az ellipsis kerületében egy pont, melyből a körhöz vont érintő hosszának négyzete

\begin{matrix} t^{2} = {(x - p)}^{2} + y^{2} - ζ^{2} \end{matrix}

M

pontnak az egyenestől mért távola

\begin{matrix} d^{2} = {(x - m)}^{2} \end{matrix}

Feltétel szerint

\begin{matrix} {(x - p)}^{2} + y^{2} - ζ^{2} = k {(x - m)}^{2} \end{matrix}

hol

k

állandó szám.
Ez egyenlőségnek

M

bármely helyzete mellett állania kell, tehát érvényes akkor is, ha a főtengelyek végpontjaiban képzeljük, mely esetekre

\begin{matrix} {(a - p)}^{2} - ζ^{2} = k {(a - m)}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} {(a + p)}^{2} - ζ^{2} = k {(a + m)}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} p^{2} + b^{2} - ζ^{2} = k m^{2} \end{matrix}

E három egyenletből

k

számértéke

p

és

ζ

nagysága meghatározható s a következő értékek erednek

\begin{matrix} k = \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{c^{2}}{a^{2}} = E^{2} \end{matrix}

az excentricitas szám-értéke

\begin{matrix} p = \frac{c^{2}}{a^{2}} m \end{matrix}

\begin{matrix} ζ^{2} = b^{2} (1 - \frac{c^{2} m^{2}}{a^{2}}) \end{matrix}

vagy ha

p

elébbi értékét helyettezzük

\begin{matrix} ζ^{2} = b^{2} (1 - \frac{p^{2}}{c^{2}}) \end{matrix}

Minthogy

k

értéke valódi tört, a kör középpontja mindig az egyenes és az ellipsis középpontja közé esik s az

m

távolságot

\begin{matrix} - \frac{p}{m - p} = - \frac{k}{1 - k} = - \frac{b^{2}}{c^{2}} arányban osztja. \end{matrix}

Tehát a kör középpontja egyszerűen szerkeszthető, ha a gyűjtőpontot a kis féltengely végpontjával összekötvén az átfogóra

m

-et felrakjuk s a származott háromszöghöz hasonlót szerkesztünk. E derékszögű háromszög csúcsából az átfogóra merőlegest bocsátván a gyűjtőpontnak e merőleges talppontjától mért távola

\begin{matrix} p = m \end{matrix}

ζ^{2}

értékéből kiolvasható, hogy csak addig valós, míg

(p) \leq (c)

a mi a középpontnak a gyűjtőpont és az ellipsis középpontja között fekvését követeli.

\begin{matrix} ζ_{m a x} = b, ha p = 0, ζ_{m i n} = 0, ha p = c . \end{matrix}

Ez esetben a megfelelő egyenes a directrix. Az ellipsis és a kör kölcsönös fekvését vizsgálván a

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} és \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} {(x - \frac{c^{2}}{a^{2}} m)}^{2} + a^{2} y^{2} = b^{2} \frac{a^{2} - c^{2} m^{2}}{a^{2}} \end{matrix}

egyenletekből

y

eliminatioja után:

\begin{matrix} {(x - m)}^{2} = 0 \end{matrix}

ered, ami azt mondja, hogy a kör az ellipsist

\begin{matrix} x = m, y = \pm \frac{b}{a} \sqrt[]{a^{2} - m^{2}} \end{matrix}

pontokban mindig érinti, tehát mindig egész terjedelmében az ellipszisen belől fekszik. Egyszersmind az is kitűnik ebből, hogy úgy a kör, mint az ellipszis a feladat lehető volta esetében az egyenest érintkezéspontjukban vágják. Az érintéspont azonban csak addig valós, míg

m \leq a,

azontúl képzetes. Ha

H

egyenes a kis tengelyre merőleges, egyenlete:

\begin{matrix} y - n = 0 \end{matrix}

A kör egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + {(y - q)}^{2} = ζ_{1}^{2} és M (x, y) \end{matrix}

az ellipszis tetszésszerint vett pontja:

\begin{matrix} t_{1}^{2} = x^{2} + {(y - q)}^{2} - ζ_{1}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} d_{1}^{2} = {(y - n)}^{2} \end{matrix}

Feltétel szerint

\begin{matrix} x^{2} + {(y - q)}^{2} - ζ_{1}^{2} = k_{1} {(y - n)}^{2} \end{matrix}

Ezen egyenlet helyes marad

x

és

y

bármely értékénél, melyek az ellipsis egyenletét kielégítik, tehát ha

M

a főtengelyek végpontjaiban van is, midőn:

\begin{matrix} {(b - q)}^{2} - ζ_{1}^{2} = k_{1} {(b - n)}^{2} \end{matrix}

4a)

\begin{matrix} {(b + q)}^{2} - ζ_{1}^{2} = k_{1} {(b + n)}^{2} \end{matrix}

5a)

\begin{matrix} a^{2} + q^{2} - ζ_{1}^{2} = k_{1} n^{2} \end{matrix}

6a)

mely egyenletekből:

\begin{matrix} k_{1} = - \frac{c^{2}}{b^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} q = - \frac{c^{2}}{b^{2}} n \end{matrix}

\begin{matrix} ζ_{1}^{2} = a^{2} \frac{b^{4} + c^{2} n^{2}}{b^{4}} = a^{2} (1 + \frac{q^{2}}{c^{2}}) \end{matrix}

q

értékéből következik, hogy ez esetben a kör középpontja mindig kívül esik, az egyenes és az ellipsis középpontja meghatározták közön s pedig az ellipszis középpontjától ellenkező oldalon, mint az egyenes. E pont az

n

távolságot

\begin{matrix} \frac{q}{q + n} = \frac{c^{2}}{a^{2}} \end{matrix}

arányban osztja.

ζ_{1}

értéke mutatja, hogy a kör mindig lehetséges és a sugár

n

értékével nagyobbodik.

\begin{matrix} ζ_{1 m i n} = a, ha q = n = 0. \end{matrix}

Természetes, hogy ez esetben maximumról nem lehet szó. Az ellipszis és kör kölcsönös fekvését vizsgálván, a

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} és \end{matrix}

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + b^{2} y + \frac{c^{2}}{b^{2}} n^{2} = a^{2} \frac{b^{4} + c^{2} n^{2}}{b^{2}} \end{matrix}

egyenletekből

x

eliminácziója után:

\begin{matrix} {(y - n)}^{2} = 0 \end{matrix}

ered, ami azt mondja, hogy a kör az ellipsist mindig érinti

\begin{matrix} x = \pm \frac{a}{b} \sqrt[]{b^{2} - n^{2}}, y = n \end{matrix}

pontokban. Az érintés valóban csak addig lehetséges, míg

x

elébbi értéke valós, tehát

b \geq n

, azaz: míg az egyenes az ellipszist érinti vagy metszi. Ha azonban ez nem történik a kör az ellipszist nem érinti s az egyenest nem metszi. Ez esetben a körnek egy pontja sincs az ellipsisen belül, hanem az utóbbi egész terjedelmében a körön belül fekszik.

(Folytatjuk).

Szerkesztő:ARANY DÁNIEL

Nyomatott Gross Testvéreknél Győrött.

GEOMETRIA.

34. Folytatás.

II.

Legyen a két egyenes:

\begin{matrix} H = x - m = 0, H_{1} = y - n = 0 \end{matrix}

s a megfelelő körök

\begin{matrix} {(x - \frac{c^{2}}{a^{2}} m)}^{2} + y^{2} = b^{2} \frac{a^{4} - c^{2} m^{2}}{a^{4}}, x^{2} + {(y + \frac{c^{2}}{b^{2}} n)}^{2} = a^{2} \frac{b^{4} + c^{2} n^{2}}{b^{4}} \end{matrix}

A centralis egyenlete:

\begin{matrix} \frac{a^{2} x}{c^{2} m} - \frac{b^{2} y}{c^{2} n} = 1 \end{matrix}

egyszerűen a középpontok coordinátái alapján képezve. Ez egyenlet könnyen hozható következő alakra:

\begin{matrix} (x - m) - \frac{b^{2} m}{a^{2} n} (y - n) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} - b^{2} \end{matrix}

helyettezést teszünk. De az utóbbi alak világosan mutatja, hogy a centralis mindig átmegy az

\begin{matrix} x - m = 0 és y - n = 0 \end{matrix}

egyenesek metszéspontján.
Az eddigiek alapján egyszerűen, minden számítás nélkül következik, hogy ha az elébbi körök érintkeznek, ez érintkezés csak az ellipszis kerületében történhetik, tehát a körök egyidejűleg az ellipszist is érintik, mivel pedig a megfelelő egyenesek mindig a kör és ellipszis érintkezéspontján mennek át, ezek metszése szintén az ellipszis kerületében történik mindig, azaz

P

pont geometriai helye maga az ellipszis.
Ha a körök közös szelője átmegy

P

ponton, akkor az elébbi meggondolásokból következik, hogy e közös szelő mindig érintője az ellipszisnek is a

P

pontban, tehát a geometriai hely ismét az elébbi: maga az ellipszis.
Ez állításokat analytikailag is igazolhatjuk.
A két kör érintkezésének föltétele:

\begin{matrix} c^{2} \sqrt[]{b^{4} m^{2} + a^{4} n^{2}} = b^{3} \sqrt[]{a^{4} - c^{2} m^{2}} - a^{3} \sqrt[]{b^{4} + c^{2} n^{2}}, \end{matrix}

mert a kisebb kör a nagyobban fekszik, tehát csak belől érintheti a nagyobbat. A kifejezést rationalissá téve:

\begin{matrix} b^{2} m^{2} + a^{2} n^{2} = a^{2} b^{2} \end{matrix}

ered, ami

m

és

n

változókban az adott ellipszis egyenlete.
A két kör közös szelőjének egyenlete:

\begin{matrix} 2 b^{2} m x + 2 a^{2} n y = b^{2} m^{2} + a^{2} n^{2} + a^{2} b^{2} \end{matrix}

s így ha ez átmegy

P (m, n)

ponton:

\begin{matrix} b^{2} m^{2} + a^{2} n^{2} = a^{2} b^{2} \end{matrix}

következik, ami szintén az ellipszis egyenlete

m, n

változókban.

III.

Legyen

\begin{matrix} H = x - m = 0, H_{1} = x - m_{1} = 0 \end{matrix}

két a nagy tengelyre merőleges egyenes egyenlete. A megfelelő körök:

\begin{matrix} {(x - \frac{c^{2}}{a^{2}} m)}^{2} + y^{2} = b^{2} \frac{a^{4} - c^{2} m^{2}}{a^{4}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} {(x - \frac{c^{2}}{a^{2}} m_{1})}^{2} + y^{2} = b^{2} \frac{a^{4} - c^{2} m_{1}^{2}}{a^{4}} \end{matrix}

egyenletekben advák. Feltétel szerint:

\begin{matrix} t^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}} {(x - m)}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} t_{1}^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}} {(x - m_{1})}^{2} \end{matrix}

azaz:

\begin{matrix} t = \pm \frac{c}{a} (x - m), t_{1} = \pm \frac{c}{a} (x - m_{1}) \end{matrix}

M

pont az egyenesek közé esik, akkor pl.

\begin{matrix} m_{1} < x < m \end{matrix}

vagy fordítva. De ez esetben

\begin{matrix} x - m_{1} és x - m \end{matrix}

különböző előjelűek úgy, hogy:

\begin{matrix} t = - \frac{c}{a} (x - m), t_{1} = \frac{c}{a} (x - m_{1}) \end{matrix}

veendő, hogy a

t

és

t_{1}

távolságok pozitív értékek legyenek.
E két egyenletből pedig.

\begin{matrix} t + t_{1} = \frac{c}{a} (m - m_{1}) \end{matrix}

állandó.
Ha

M

pontot az egyenesek meghatározták távon kívül esik:

\begin{matrix} x ≷ m és x ≷ m_{1} \end{matrix}

áll. Úgyde az esetben

\begin{matrix} x - m és x - m_{1} \end{matrix}

mindig egyenlő jelűek és így pl.:

\begin{matrix} t = \frac{c}{a} (x - m), t_{1} = \frac{c}{a} (x - m_{1}), \end{matrix}

honnan:

\begin{matrix} t - t_{1} = \frac{c}{a} (m_{1} - m) \end{matrix}

állandó.
Ha az egyenesek a kis tengelyre merőlegesek, tehát:

\begin{matrix} H = y - n = 0 H_{1} = y - n_{1} = 0 \end{matrix}

egyenletekben adván és a megfelelő körök egyenletei:

\begin{matrix} x^{2} + {(y + \frac{c^{2}}{b^{2}} n)}^{2} = a^{2} \frac{b^{4} + c^{2} n^{2}}{b^{4}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} x^{2} + {(y + \frac{c^{2}}{b^{2}} n_{1})}^{2} = a^{2} \frac{b^{4} + c^{2} n_{1}^{2}}{b^{4}} \end{matrix}

Feltétel szerint:

\begin{matrix} t^{2} = - \frac{c^{2}}{b^{2}} {(y - n)}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} t_{1}^{2} = \frac{c^{2}}{b^{2}} {(y - n_{1})}^{2} \end{matrix}

honnan az érintők képzetesek, a mi természetes, mert, mint kimutattuk ez esetben az ellipszis minden

M

pontja a körökön belől fekszik. Ha azonban

\frac{c^{2}}{b^{2}}

-et absolut értékében vesszük, akkor

t

és

t_{1}

a köröknek

M

ponton átmenő átmérőjére e pontban emelt merőleges hurok felét jelentik, vagyis a tétel ez esetben így fogalmazható: Ha

H

és

H_{1}

a kis tengelyre merőleges egyenesek s

h

és

h'

a megfelelő körök, akkor az ellipszis egy tetszésszerinti pontján átmenő átmérőkre ez

M

pontban emelt merőleges hurok összege vagy különbsége állandó, a szerint, amint az

M

pont által leírt ellipsis ív az egyenesek közé esik vagy sem. Ha tehát ez esetre

d

és

d_{1}

az illető félhúrokat jelentik, melyek értékei:

\begin{matrix} d^{2} = ζ^{2} - x^{2} - {(y - q)}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} d_{1}^{2} = ζ_{1}^{2} - x^{2} - {(y - q_{1})}^{2} \end{matrix}

egyenlőségekből következnek, a feltételek így alakulnak:

\begin{matrix} d = \pm \frac{c}{b} (y - n), d_{1} = \pm \frac{c}{b} (y - n_{1}) \end{matrix}

Ha most

M

pont az egyenesek közé esik, az az:

\begin{matrix} n_{1} < y < n \end{matrix}

y - n_{1}

és

y - n

különbségek ellenkező előjelűek s így

d

és

d_{1}

positív voltára:

\begin{matrix} d = - \frac{c}{b} (y - n), d_{1} = \frac{c}{b} (y - n_{1}) \end{matrix}

értékek veendők honnan:

\begin{matrix} d + d_{1} = \frac{c}{b} (n - n_{1}) \end{matrix}

állandó, míg ha

M

az egyeneseken kívül esik, tehát pl:

\begin{matrix} y > n_{1}, y > n \end{matrix}

egyenlőtlenségek állanak:

\begin{matrix} d = \frac{c}{b} (y - n), d_{1} = \frac{c}{b} (y - n_{1}) \end{matrix}

veendők, honnan:

\begin{matrix} d - d_{1} = \frac{c}{b} (n_{1} - n) \end{matrix}

állandó, s így az értékek kétszerese is, a mi az állítás helyes voltát igazolja. A feladat a hyperbola esetében teljesen egyező eredményeket ad, azonban az utolsó tétel módosított alakja nélkül. Az eredmények egyszerűen felírhatók, ha az előbbiekben

b^{2}

helyett

- b^{2}

-őt teszünk, vagy ami mindegy:

b

-t

i \cdot b

-vel cseréljük fel s az eredményeket megfelelő módon értelmezzük. Itt a megfelelő körök sugarainak csak alsóhatára van.