Feladat: Metresis 34. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 48. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 1894/július: Metresis 34. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adva van egy ellipszis E és ez ellipszis síkjában választunk egy H egyenest, mely annak egyik tengelyére merőleges. Feleljen meg a H egyenesnek egy kör, melyet h-val fogunk jelölni, s mely a következő feltételeknek felel meg: Középpontja az ellipszis azon tengelyén van, mely merőleges a H egyenesre és az ellipszis egy M pontjából a körhöz húzott érintő négyzetének aránya ugyanezen pontnak a H egyenestőli távolsága négyzetéhez állandó, azaz független az M pontnak helyzetétől az ellipszisen.
10 Határoztassék meg a kör középpontjának helyzete, sugarának nagysága és az állandó arány számértéke; melyek a feladat lehetőségének feltételei és ha ezek kielégítvék, határoztassék meg a kör helyzete a H egyeneshez és az E ellipszishez viszonyítva. Mely esetben nincs a körnek egy pontja sem az ellipszisen kívül vagy belül.
20 Legyen H és K két egyenes, melynek mindegyike az ellipszis egy-egy tengelyére merőleges. Legyen P a két egyenes metszéspontja és jelelje h és k a két egyenesnek megfelelő köröket. Bebizonyítandó, hogy a körök czentrálisa a P ponton megy keresztül. Mi lesz a P pont mértani helye, ha a körök érintkeznek? Mi lesz a P pont mértani helye, ha a körök közös szelője a P ponton megy keresztül?
30 Legyen H és H' két egyenes, mely az ellipszis nagy tengelyére merőleges és h és h' a megfelelő két kör. Bizonyíttassék be, hogy ha az M pont az ellipszisen mozog, a körökhöz húzott érintők összege vagy külömbsége állandó, ha az M pont által leírt ellipszisív az egyenesek közé esik vagy sem. Módosíttassék e tulajdonság kijelentése kellőképpen, ha a két egyenes a kis tengelyre merőleges.