Kezdőlap


Feladat:	Metresis 29. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Függvénytranszformációk, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 29. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt kifejezendő, hogy az ellipszis középpontja az $x$ -tengelyen fekszik. Legyen az ellipszis általános egyenlete:

\begin{matrix} A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0, \end{matrix}

akkor a középpont koordinátáit a következő egyenletrendszer gyökei szolgáltatják:

\begin{matrix} A ξ + B η + D = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} B ξ + C η + E = 0, \end{matrix}

hogy ezen egyenleteket kielégítse az

η = 0

megoldás, kell, hogy az

\begin{matrix} A ξ + D = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} B ξ + E = 0 \end{matrix}

egyenletnek közös gyöke legyen. Ennek feltétele a következő

\begin{matrix} A E - B D = 0 \end{matrix}

A további fejtegetések eszközlésére toljuk el a koordinátarendszer tengelyeit az eredeti helyzetökkel párhuzamos helyzetbe, s vigyük a koordinátarendszer kezdőpontját az ellipszis középpontjába. Az egyenlet ekkor a következő alakot ölti:

\begin{matrix} A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} + G = 0 \end{matrix}

Írjunk le az ellipszisnek az

x

tengelybe eső átmérője felett kört. E körnek egyenlete, minthogy a félátmérő hosszának négyzete

\begin{matrix} - \frac{A}{G} \end{matrix}

a következő

\begin{matrix} A (x^{2} + y^{2}) + G = 0 \end{matrix}

Ha az

1)

-ből levonom

2)

-t, oly kúpszelet egyenletét kapom, mely az ellipszis és kör metszéspontjain megy keresztül. Ennek egyenlete a következő lesz:

\begin{matrix} y [(C - A) y + 2 B x] = 0 \end{matrix}

Ezen egyenlet egyenespárt ábrázol, melynek egyedeit a következő egyenletek adják

\begin{matrix} y = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} (A - C) y - 2 B x = 0 \end{matrix}

Már most csak annak feltételét kell levezetnünk, hogy a

4)

és

5)

alatti egyenesek kapcsolt átmérőpárt jelentenek. Hogy az

\begin{matrix} y = k x \end{matrix}

\begin{matrix} y = k' x \end{matrix}

egyenesek a

2)

által ábrázolt ellipszis kapcsolt átmérőit jelentsék, kell, hogy

\begin{matrix} A + B (k + k') + C k k' = 0 \end{matrix}

Ezen feltételt a

4)

és

5)

-re alkalmazva, a következő eredményt nyerjük:

\begin{matrix} 2 B^{2} + (A - C) A = 0; \end{matrix}

ezt egybevetve az

1)

alatti feltétellel, kapjuk az együtthatók közt fennálló feltételekül a következőket:

\begin{matrix} \frac{C - A}{2 B} = \frac{B}{A} = \frac{E}{D} \end{matrix}