Feladat: Metresis 29. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 52 - 53. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Függvénytranszformációk, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 29. feladata

Adva lévén egy ellipszis legáltalánosabb egyenlete által, mily összefüggéseknek kell az együtthatók között fennállaniok, hogy az abscissa-tengely az egymással egyenlő kapcsolt átmérők egyikével essék össze.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt kifejezendő, hogy az ellipszis középpontja az x-tengelyen fekszik. Legyen az ellipszis általános egyenlete:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,
akkor a középpont koordinátáit a következő egyenletrendszer gyökei szolgáltatják:
Aξ+Bη+D=0,
Bξ+Cη+E=0,
hogy ezen egyenleteket kielégítse az η=0 megoldás, kell, hogy az
Aξ+D=0
Bξ+E=0
egyenletnek közös gyöke legyen. Ennek feltétele a következő
AE-BD=01)
A további fejtegetések eszközlésére toljuk el a koordinátarendszer tengelyeit az eredeti helyzetökkel párhuzamos helyzetbe, s vigyük a koordinátarendszer kezdőpontját az ellipszis középpontjába. Az egyenlet ekkor a következő alakot ölti:
Ax2+2Bxy+Cy2+G=02)
Írjunk le az ellipszisnek az x tengelybe eső átmérője felett kört. E körnek egyenlete, minthogy a félátmérő hosszának négyzete
-AG
a következő
A(x2+y2)+G=03)
Ha az 1)-ből levonom 2)-t, oly kúpszelet egyenletét kapom, mely az ellipszis és kör metszéspontjain megy keresztül. Ennek egyenlete a következő lesz:
y[(C-A)y+2Bx]=0
Ezen egyenlet egyenespárt ábrázol, melynek egyedeit a következő egyenletek adják
y=04)
(A-C)y-2Bx=05)
Már most csak annak feltételét kell levezetnünk, hogy a 4) és 5) alatti egyenesek kapcsolt átmérőpárt jelentenek. Hogy az
y=kx
y=k'x
egyenesek a 2) által ábrázolt ellipszis kapcsolt átmérőit jelentsék, kell, hogy
A+B(k+k')+Ckk'=06)
Ezen feltételt a 4) és 5)-re alkalmazva, a következő eredményt nyerjük:
2B2+(A-C)A=0;
ezt egybevetve az 1) alatti feltétellel, kapjuk az együtthatók közt fennálló feltételekül a következőket:
C-A2B=BA=ED7)