Feladat: Metresis 28. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 68 - 69. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Algebrai átalakítások, Projektív geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 28. feladata

Legyen adva az S(a,b,c,d) sugárrendszer. Messük ezt a C pontból húzott két egyenessel. Az egyiknek metszéspontjait az a,b,c és d sugarakkal jeleljük A,B,C és D-vel, a másikéit A',B',C' és D'-tel. Bizonyíttassék be, miszerint
(ABCD)=(A'B'C'D'),
hol az (ABCD) symbolum értelmezését a következő egyenlet szolgáltatja:
(ABCD)=ACBC:ADBD.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Húzzunk az S pontból párhuzamosat az OA egyenessel, míg az az OA' egyenest Q pontban metszi. Húzzunk továbbá az S pontból az OA' egyenessel párhuzamosat, míg ez az OA-t R pontban metszi.
Az SAR és A'SQ háromszögek hasonlóságából folynak a következő aránylatok:

AR:RS=SQ':Q'A'
vagy minthogy
SR=Q'OésSQ'=RO
AR:OQ'=RQ:Q'A'
miből
AR=OQ'ROQ'A'
Minthogy azonban OQ' és RO állandó mennyiségek, ennélfogva szorzatuk is állandó és értéke jeleltessék k-val. Így tehát
AR=kQ'A'
CR=kQ'C'
Minthogy pedig:
AC=AR-CR=kQ'A'-kQ'C',
azért
AC=k(Q'C'-Q'A')Q'A'Q'C'=kA'C'Q'A'Q'C'.
Hasonlóképpen
BC=kB'C'Q'B'Q'C'
miből
AC:BC=A'C'Q'A':B'C'Q'B'=A'C'B'C'Q'B'Q'A'
Éppígy következik, hogy:
AD:BD=A'D'Q'A':B'D'Q'B'=A'D'B'D'Q'B'Q'A'
miből végre
AC:BC::AD:BD=A'C':B'C'::A'D':B'D'