Kezdőlap


Feladat:	Metresis 28. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 68 - 69. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Algebrai átalakítások, Projektív geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 28. feladata

Legyen adva az

S (a, b, c, d)

sugárrendszer. Messük ezt a

C

pontból húzott két egyenessel. Az egyiknek metszéspontjait az

a, b, c

és

d

sugarakkal jeleljük

A, B, C

és

D

-vel, a másikéit

A', B', C'

és

D'

-tel. Bizonyíttassék be, miszerint

\begin{matrix} (A B C D) = (A' B' C' D'), \end{matrix}

hol az

(A B C D)

symbolum értelmezését a következő egyenlet szolgáltatja:

\begin{matrix} (A B C D) = \frac{A C}{B C} : \end{matrix}

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Húzzunk az $S$ pontból párhuzamosat az $O A$ egyenessel, míg az az $O A'$ egyenest $Q$ pontban metszi. Húzzunk továbbá az $S$ pontból az $O A'$ egyenessel párhuzamosat, míg ez az $O A$ -t $R$ pontban metszi.
Az $S A R$ és $A' S Q$ háromszögek hasonlóságából folynak a következő aránylatok:

\begin{matrix} A R : R S = S Q' : Q' A' \end{matrix}

vagy minthogy

\begin{matrix} S R = Q' O és S Q' = R O \end{matrix}

\begin{matrix} A R : O Q' = R Q : Q' A' \end{matrix}

miből

\begin{matrix} A R = \frac{O Q' \cdot R O}{Q' A'} \end{matrix}

Minthogy azonban

O Q'

és

R O

állandó mennyiségek, ennélfogva szorzatuk is állandó és értéke jeleltessék

k

-val. Így tehát

\begin{matrix} A R = \frac{k}{Q' A'} \end{matrix}

\begin{matrix} C R = \frac{k}{Q' C'} \end{matrix}

Minthogy pedig:

\begin{matrix} A C = A R - C R = \frac{k}{Q' A'} - \frac{k}{Q' C'}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} A C = \frac{k (Q' C' - Q' A')}{Q' A' \cdot Q' C'} = \frac{k \cdot A' C'}{Q' A' \cdot Q' C'} . \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} B C = \frac{k \cdot B' C'}{Q' B' \cdot Q' C'} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} A C \end{matrix}

Éppígy következik, hogy:

\begin{matrix} A D \end{matrix}

miből végre

\begin{matrix} A C \end{matrix}