Kezdőlap


Feladat:	Metresis 24. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Parabola egyenlete, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 24. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . A feladatban tekintetbe vett parabola és kör mindegyike szimmetrikus lévén az $O x$ tengelyre nézve, $D$ is szimmetrikus lesz $B$ -vel ugyanezen tengelyre vonatkoztatva; $C D$ tehát merőleges lesz $O x$ -re és ennek folytán párhuzamos $A B$ -vel.
Jelelje $E$ az $A B$ -nek és $G$ a $C D$ -nek metszéspontját az $O x$ tengellyel. Legyen továbbá $O E = a, O G = x$ . Ekkor

\begin{matrix} C G^{2} + G E^{2} = C E^{2} = A E^{2} \end{matrix}

vagy a parabola egyenletéből

\begin{matrix} 2 p x + {(a - x)}^{2} = 2 p a \end{matrix}

mely egyenlet rendezve, a következő alakot ölti:

\begin{matrix} x^{2} + 2 (p - a) x + a (a - 2 p) = 0 \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x = a - p \pm p \end{matrix}

és így tehát

\begin{matrix} x_{1} = a x_{2} = a - 2 p \end{matrix}

Az első megoldás az

A B

, a második a

C D

húrnak felel meg és így látható, hogy

G E = a - (2 p - a) = 2 p

;

2^{0}

. Látjuk, hogy

\begin{matrix} C G^{2} = 2 p O G = 2 p (a - 2 p) \end{matrix}

és minthogy

\begin{matrix} O G \times G E = (a - 2 p) 2 p \end{matrix}

következik, hogy

\begin{matrix} C G^{2} = O G \times G E . \end{matrix}

Ebből látható, hogy az

O C E

háromszög derékszögű, tehát az

O C

egyenes érinti a kört.