Kezdőlap


Feladat:	Metresis 19. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Maksay Zsigmond
Füzet:	1894/július, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Számtani sorozat, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 19. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A későbbi átalakítások egyszerűbb volta miatt legyen a három szám

\begin{matrix} n^{2}, {(n + 2 x)}^{2}, {(n + 2 y)}^{2} \end{matrix}

Feltétel szerint:

\begin{matrix} 2 {(n + 2 x)}^{2} = {(n + 2 y)}^{2} + n^{2} \end{matrix}

azaz:

\begin{matrix} {(n + 2 x)}^{2} = {(n + y)}^{2} + y^{2} \end{matrix}

honnan:

\begin{matrix} (n + 2 x) = \sqrt[]{[{(n + y)}^{2} + y^{2}]} \end{matrix}

(n + 2 x)

rationális egész szám, ha:

\begin{matrix} [{(n + y)}^{2} + y^{2}] \end{matrix}

teljes négyzet, vagyis, ha

(n + y)

és

y

úgynevezett pythagorasi számok. Legyen:

\begin{matrix} (n + y) = 2 p q \end{matrix}

és

\begin{matrix} y = p^{2} - q^{2}, \end{matrix}

mert ekkor valóban:

\begin{matrix} (n + 2 x) = (p^{2} + q^{2}) \end{matrix}

Ha a sor növekedő, a mit föltehetünk, akkor

x

és

y

positiv egész számok s

2)

-ből következik, hogy

\begin{matrix} | p | > | q | \end{matrix}

és 1)-ből:

\begin{matrix} | q | > 0. \end{matrix}

azaz:

p

legalább

2

és

q

legalább is

1.

1) és 2) alapján a keresett számok periodusa:

\begin{matrix} {(q^{2} + 2 p q - p^{2})}^{2}, {(p^{2} + q^{2})}^{2}, {(p^{2} + 2 p q - q^{2})}^{2} \end{matrix}

A sor állandó különbsége

4 p q (p^{2} - q^{2})

. E különbség mindig páros, a miből következik, hogy a tagok egyidejűleg párosak vagy páratlanok. E körülmény pedig

p

és

q

-tól függ. A sor tagjai párosak: ha

p

és

q

egyidejűleg párosak, vagy páratlanok. A sor tagjai páratlanok, ha

p

és

q

közül egyik páros, a másik páratlan. Az általános alak szerint a periódus második tagjának alapszáma mindig két teljes négyzet összege, s ez alapon megkapjuk a feleletet a kérdés második részére: melyik három négyzet a legkisebb, mely arithmetikai sort alkot? A számok sorában

5

a legkisebb szám, mely két teljes négyzet összege

(2^{2} + 1^{2})

s így

p = 2

q = 1

helyettezés vezet a kívánt számokhoz, azaz:

\begin{matrix} 1^{2} 5^{2} 7^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} 1 25 49 \end{matrix}

Természetes, hogy a legkisebb intervallumú periodusokat akkor találjuk, ha páratlan számok esetében

\begin{matrix} p - q = 1 és \end{matrix}

páros számok estében

p - q = 2

.
Az általános alakok vizsgálata azt mutatja továbbá, hogy egy bizonyos periodust

p = 4

és

q = n - 1

helyettesítéssel megállapítván, ha a következő periodusban

p = n + 1

és

q = n

helyettezést végezzük: az új periodus első tagja egyenlő a régi utolsó tagjával. Ugyanis

p = n

és

q = n - 1

-re , tehát páratlan számok esetére:

\begin{matrix} {(2 n^{2} - 4 n + 1)}^{2}, {(2 n^{2} - 2 n + 1)}^{2}, {(2 n^{2} - 1)}^{2} \end{matrix}

képezik a sort, míg

\begin{matrix} p = n + 1 és q = n \end{matrix}

helyettezésre:

\begin{matrix} {(2 n^{2} - 1)}^{2}, {(2 n^{2} + 2 n + 1)}^{2}, {(2 n^{2} + 4 n + 1)}^{2} \end{matrix}

lesznek a sor tagjai.
Páros számsor esetében pedig:

\begin{matrix} p = m, q = m - 2 \end{matrix}

a) helyettezésre:

\begin{matrix} {(2 m^{2} - 8 m + 4)}^{2}, {(2 m^{2} - 4 m + 4)}^{2}, {(2 m^{2} - 4)}^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} p = m + 2, q = m \end{matrix}

helyettezésre:

\begin{matrix} {(2 m^{2} - 4)}^{2}, {(2 m^{2} + 4 m + 4)}^{2}, {(2 m^{2} + 8 m + 4)}^{2} \end{matrix}

lesznek a periódus tagjai
b)

\begin{matrix} p = m + 1, q = m - 1 \end{matrix}

esetben

\begin{matrix} {(2 m^{2} - 4 m - 2)}^{2}, {(2 m^{2} + 2)}^{2}, {(2 m^{2} + 4 m - 2)}^{2} \end{matrix}

míg

\begin{matrix} p = m + 3, q = m + 1 \end{matrix}

esetben

\begin{matrix} {(2 m^{2} + 4 m - 2)}^{2}, {(2 m^{2} + 8 m + 10)}^{2}, {(2 m^{2} + 12 m + 14)}^{2} \end{matrix}

adják a periódusokat.

Maksay Zsigmond.