Feladat: Metresis 19. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Maksay Zsigmond 
Füzet: 1894/július, 25 - 26. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Számtani sorozat, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 19. feladata

Meghatározandó a legáltalánosabb alakja oly három teljes négyzetnek, melyek számtani haladványt alkotnak. Levezetendő belőle a három legkisebb négyzet, mely e tulajdonsággal bír.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A későbbi átalakítások egyszerűbb volta miatt legyen a három szám

n2,(n+2x)2,(n+2y)2
Feltétel szerint:
2(n+2x)2=(n+2y)2+n2
azaz:
(n+2x)2=(n+y)2+y2
honnan:
(n+2x)=[(n+y)2+y2]
(n+2x) rationális egész szám, ha:
[(n+y)2+y2]
teljes négyzet, vagyis, ha (n+y) és y úgynevezett pythagorasi számok. Legyen:
(n+y)=2pq1)
és
y=p2-q2,2)
mert ekkor valóban:
(n+2x)=(p2+q2)3)
Ha a sor növekedő, a mit föltehetünk, akkor x és y positiv egész számok s 2)-ből következik, hogy
|p|>|q|
és 1)-ből:
|q|>0.
azaz: p legalább 2 és q legalább is 1.
1) és 2) alapján a keresett számok periodusa:
(q2+2pq-p2)2,(p2+q2)2,(p2+2pq-q2)2
A sor állandó különbsége 4pq(p2-q2). E különbség mindig páros, a miből következik, hogy a tagok egyidejűleg párosak vagy páratlanok. E körülmény pedig p és q-tól függ. A sor tagjai párosak: ha p és q egyidejűleg párosak, vagy páratlanok. A sor tagjai páratlanok, ha p és q közül egyik páros, a másik páratlan. Az általános alak szerint a periódus második tagjának alapszáma mindig két teljes négyzet összege, s ez alapon megkapjuk a feleletet a kérdés második részére: melyik három négyzet a legkisebb, mely arithmetikai sort alkot? A számok sorában 5 a legkisebb szám, mely két teljes négyzet összege (22+12) s így p=2, q=1 helyettezés vezet a kívánt számokhoz, azaz:
125272
12549
Természetes, hogy a legkisebb intervallumú periodusokat akkor találjuk, ha páratlan számok esetében
p-q=1és
páros számok estében p-q=2.
Az általános alakok vizsgálata azt mutatja továbbá, hogy egy bizonyos periodust p=4 és q=n-1 helyettesítéssel megállapítván, ha a következő periodusban p=n+1 és q=n helyettezést végezzük: az új periodus első tagja egyenlő a régi utolsó tagjával. Ugyanis p=n és q=n-1-re , tehát páratlan számok esetére:
(2n2-4n+1)2,(2n2-2n+1)2,(2n2-1)2
képezik a sort, míg
p=n+1ésq=n
helyettezésre:
(2n2-1)2,(2n2+2n+1)2,(2n2+4n+1)2
lesznek a sor tagjai.
Páros számsor esetében pedig:
p=m,q=m-2
a) helyettezésre:
(2m2-8m+4)2,(2m2-4m+4)2,(2m2-4)2
és
p=m+2,q=m
helyettezésre:
(2m2-4)2,(2m2+4m+4)2,(2m2+8m+4)2
lesznek a periódus tagjai
b)
p=m+1,q=m-1
esetben
(2m2-4m-2)2,(2m2+2)2,(2m2+4m-2)2
míg
p=m+3,q=m+1
esetben
(2m2+4m-2)2,(2m2+8m+10)2,(2m2+12m+14)2
adják a periódusokat.
Maksay Zsigmond.