Kezdőlap


Feladat:	Metresis 17. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Függvénytranszformációk, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Koordináta-geometria, Kúpszeletek, Egyenes, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 17. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúpszelet legáltalánosabb egyenlete:

\begin{matrix} A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0 \end{matrix}

M N

egyenes egy tetszés szerinti pontjának

L

-nek coordinátái:

\begin{matrix} \frac{x_{0} + λ x'}{1 + λ}, \frac{y_{0} + λ y'}{1 + λ} \end{matrix}

és hogy

L

a kúpszeleten feküdjék, kell, hogy coordinátái az 1)-be helyettesítve, azt azonosan kielégítsék. Elvégezve a helyettesítést és az egyenletet

λ

fogyó hatványai szerint rendezve, ez a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} P λ^{2} + 2 Q λ + R = 0 \end{matrix}

hol

\begin{matrix} P = A x'^{2} + 2 B x' y' + C y'^{2} + 2 D x'^{2} + 2 E y' + F \end{matrix}

\begin{matrix} Q = (A x_{0} + B y_{0} + D) x' + (B x_{0} + C y_{0} + E) y' + (D x_{0} + E y_{0} + F) \end{matrix}

\begin{matrix} R = A x_{0}^{2} + B x_{0} y_{0} + C y_{0}^{2} + 2 D x_{0} + 2 E y_{0} + F \end{matrix}

Hogy az

M N

egyenes a kúpszeletet két egybeeső pontban messe, kell, hogy a 2)-nek két egyenlő gyöke legyen. Ennek feltétele:

\begin{matrix} Q^{2} - P R = 0 \end{matrix}

mely egyszersmind a keresett mértani hely egyenlete.
Ha ezt

x'

és

y'

szerint rendezzük, kapjuk a következőt:

\begin{matrix} a x'^{2} + 2 b x' y' + c y'^{2} + 2 d x' + 2 e y' + f = 0 \end{matrix}

hol

\begin{matrix} a = α^{2} - R A, b = α β - R B, c = β^{2} - R C \end{matrix}

\begin{matrix} d = α γ - R D, e = β γ - R E, f = γ^{2} - R F \end{matrix}

mikor is

\begin{matrix} α = A x_{0} + B y_{0} + D \end{matrix}

\begin{matrix} β = B x_{0} + C y_{0} + E \end{matrix}

\begin{matrix} γ = D x_{0} + E y_{0} + F \end{matrix}

A 4) alatti egyenlet együtthatóinak részletes alakja

\begin{matrix} a = (B^{2} - A C) y_{0}^{2} + 2 (B D - A D) y_{0} + (D^{2} - A F) \end{matrix}

\begin{matrix} b = (A C - B^{2}) x_{0} y_{0} + (A E - B D) x_{0} + (C D - B E) y_{0} + (D E - B F) \end{matrix}

\begin{matrix} c = (B^{2} - A C) x_{0}^{2} + 2 (B E - C D) x_{0} + (E^{2} - C F) \end{matrix}

\begin{matrix} d = (A E - B D) x_{0} y_{0} + (B E - C D) y_{0}^{2} + (A F - D^{2}) x_{0} + (B F - D E) y_{0} \end{matrix}

\begin{matrix} e = (B D - A E) x_{0}^{2} + (C D - B E) x_{0} y_{0} + (B F - D E) x_{0} + (C F - E^{2}) y_{0} \end{matrix}

\begin{matrix} f = (D^{2} - A F) x_{0}^{2} + 2 (D E - B F) x_{0} y_{0} + (E^{2} - C F) y_{0}^{2} \end{matrix}

míg ez utóbbi még a következő alakban is írható:

\begin{matrix} (a x' + b y' + d) x' + (b x' + c y' + e) y' + (d x' + e y' + f) = 0 \end{matrix}

Ha ebbe az egyenletbe

x'

és

y'

helyébe

\begin{matrix} x + x_{0} és y + y_{0} \end{matrix}

íratik, vagyis a coordinátarendszert önmagával párhuzamosan eltolom, míg kezdőpontja az

M (x_{0}, y_{0})

pontba esik, az 5) a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} (a x^{2} + 2 b x y + c^{2} + 2 a x_{0} + b y_{0} + d) x + 2 (b x_{0} + c y_{0} + c) y + \end{matrix}

\begin{matrix} + (a x_{0} + b y_{0} + d) x_{0} + (b x_{0} + c y_{0} + e) y_{0} + (d x_{0} + e y_{0} + f) = 0 \end{matrix}

a, b, c, d, e

és

f

részletes értékeinek belehelyettesítése mellett a következő egyenletek:

\begin{matrix} a x_{0} + b y_{0} + d = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} b x_{0} + c y_{0} + e = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} d x_{0} + c y_{0} + f = 0 \end{matrix}

identikusan ki vannak elégítve s a 6) végre a következő egyszerű alakot nyeri:

\begin{matrix} a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} = 0 \end{matrix}

melyből közvetlenül látható, hogy egyenespár egyenlete, mert

x

- és

y

-tól független tagot nem tartalmaz.