Feladat: Metresis 17. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 22 - 23. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Függvénytranszformációk, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Koordináta-geometria, Kúpszeletek, Egyenes, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 17. feladata

Adva van egy kúpszelet legáltalánosabb egyenlete által és két pont: M(x0,y0), és N(x',y'). Feltéve, hogy M pont állandó, mily mértani helyet ír le az N, ha az MN bármely helyzeténél a kúpszeletet két egybeeső pontban vágja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúpszelet legáltalánosabb egyenlete:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=01)
A MN egyenes egy tetszés szerinti pontjának L-nek coordinátái:
x0+λx'1+λ,y0+λy'1+λ
és hogy L a kúpszeleten feküdjék, kell, hogy coordinátái az 1)-be helyettesítve, azt azonosan kielégítsék. Elvégezve a helyettesítést és az egyenletet λ fogyó hatványai szerint rendezve, ez a következő alakot nyeri:
Pλ2+2Qλ+R=02)
hol
P=Ax'2+2Bx'y'+Cy'2+2Dx'2+2Ey'+F
Q=(Ax0+By0+D)x'+(Bx0+Cy0+E)y'+(Dx0+Ey0+F)
R=Ax02+Bx0y0+Cy02+2Dx0+2Ey0+F
Hogy az MN egyenes a kúpszeletet két egybeeső pontban messe, kell, hogy a 2)-nek két egyenlő gyöke legyen. Ennek feltétele:
Q2-PR=03)
mely egyszersmind a keresett mértani hely egyenlete.
Ha ezt x' és y' szerint rendezzük, kapjuk a következőt:
ax'2+2bx'y'+cy'2+2dx'+2ey'+f=04)
hol
a=α2-RA,b=αβ-RB,c=β2-RC
d=αγ-RD,e=βγ-RE,f=γ2-RF
mikor is
α=Ax0+By0+D
β=Bx0+Cy0+E
γ=Dx0+Ey0+F
A 4) alatti egyenlet együtthatóinak részletes alakja
a=(B2-AC)y02+2(BD-AD)y0+(D2-AF)
b=(AC-B2)x0y0+(AE-BD)x0+(CD-BE)y0+(DE-BF)
c=(B2-AC)x02+2(BE-CD)x0+(E2-CF)
d=(AE-BD)x0y0+(BE-CD)y02+(AF-D2)x0+(BF-DE)y0
e=(BD-AE)x02+(CD-BE)x0y0+(BF-DE)x0+(CF-E2)y0
f=(D2-AF)x02+2(DE-BF)x0y0+(E2-CF)y02
míg ez utóbbi még a következő alakban is írható:
(ax'+by'+d)x'+(bx'+cy'+e)y'+(dx'+ey'+f)=05)
Ha ebbe az egyenletbe x' és y' helyébe
x+x0ésy+y0
íratik, vagyis a coordinátarendszert önmagával párhuzamosan eltolom, míg kezdőpontja az M(x0,y0) pontba esik, az 5) a következő alakot nyeri:
(ax2+2bxy+c2+2ax0+by0+d)x+2(bx0+cy0+c)y+
+(ax0+by0+d)x0+(bx0+cy0+e)y0+(dx0+ey0+f)=06)
Az a,b,c,d,e és f részletes értékeinek belehelyettesítése mellett a következő egyenletek:
ax0+by0+d=0
bx0+cy0+e=07)
dx0+cy0+f=0
identikusan ki vannak elégítve s a 6) végre a következő egyszerű alakot nyeri:
ax2+2bxy+cy2=08)
melyből közvetlenül látható, hogy egyenespár egyenlete, mert x- és y-tól független tagot nem tartalmaz.