Kezdőlap


Feladat:	Metresis 16. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 16. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2) alatti egyenlet a következő alakban írható:

\begin{matrix} \frac{tan^{2} x}{1 + t a n^{2} x} + \frac{tan^{2} y}{1 + t a n^{2} y} = b^{2}, \end{matrix}

vagy kifejtve ezt és tekintetbe véve az 1)-et,

\begin{matrix} tan^{2} x + a^{2} + tan^{2} y + a^{2} = b^{2} (1 + tan^{2} x + tan^{2} y + a^{2}), \end{matrix}

melyből következik, hogy

\begin{matrix} tan^{2} x + tan^{2} y = \frac{2 a^{2} - b^{2} (1 + a^{2})}{b^{2} - 1} . \end{matrix}

Az 1) és 3) egyenletek alapján

tan^{2} x

és

tan^{2} y

a következő másodfokú egyenlet gyökei:

\begin{matrix} X^{2} - \frac{2 a^{2} - b^{2} (1 + a^{2})}{b^{2} - 1} X + a^{2} = 0. \end{matrix}

Hogy ezen egyenlet

tan^{2} x

és

tan^{2} y

részére elfogadható értékeket szolgáltasson, szükséges és elegendő, miszerint gyökei valósak és pozitivok legyenek.
A valósság feltétele:

\begin{matrix} [\frac{2 a^{2} - b^{2} (1 + a^{2})}{b^{2} - 1}] - 4 a^{2} ≧ 0, \end{matrix}

\begin{matrix} [2 a (a + 1) - b^{2} {(a + 1)}^{2}] [2 a (a - 1) - b^{2} {(a - 1)}^{2}] ≧ 0; \end{matrix}

ha ezen egyenletet elosztjuk az

\begin{matrix} {(a + 1)}^{2} {(a - 1)}^{2} \end{matrix}

pozitív értékkel, lesz belőle:

\begin{matrix} (\frac{2 a}{a + 1} - b^{2}) (\frac{2 a}{a - 1} - b^{2}) ≧ 0. \end{matrix}

Minthogy a gyökök szorzata

a^{2}

positív, ez utóbbiak akkor lesznek positívok, ha összegük

\begin{matrix} \frac{2 a^{2} - b^{2} (1 + a)}{b^{2} - 1} > 0 \end{matrix}

vagyis

b^{2}

minden értékénél, mely a

\begin{matrix} \frac{2 a^{2}}{a^{2} + 1} és 1 \end{matrix}

határok közé esik.
Ha a 4) alatti egyenlőtlenség baloldalán álló mennyiségben

b^{2}

helyébe

\frac{2 a^{2}}{a^{2} + 1}

-et teszek, az negatív lesz és így

\frac{2 a^{2}}{a^{2} + 1}

\begin{matrix} \frac{2 a}{a + 1} és \frac{2 a}{a - 1} \end{matrix}

között foglaltatik.
Hasonlóképpen meggyőződhetünk, miszerint

1

e két utóbbi mennyiség által határolt intervallumon kívül fekszik.
Az egyedüli értékei

b^{2}

-nek, melyek a problémát kielégítik az

\begin{matrix} (1, \frac{2 a}{a + 1}) és (1, \frac{2 a}{a - 1}) \end{matrix}

intervallumok közös értékei közt keresendők.
Ha tekintetbe vesszük a

\begin{matrix} \frac{2 a}{a + 1} - 1 = \frac{a - 1}{a + 1} \end{matrix}

és a

\begin{matrix} \frac{2 a}{a - 1} - 1 = \frac{a + 1}{a - 1} \end{matrix}

külömbségeket, azt látjuk, hogy az első intervallum a másodikban foglaltatik, ha

a

positív. Ha

a

negatív, a második intervallum foglaltatik az elsőben.