Feladat: Metresis 16. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 20 - 21. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 16. feladata

Oldassék meg a következő egyenletrendszer:
tanxtany=a1)
sin2x+sin2y=b2
Az a és b mely értékeinél lehetséges a probléma?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2) alatti egyenlet a következő alakban írható:

tan2x1+tan2x+tan2y1+tan2y=b2,
vagy kifejtve ezt és tekintetbe véve az 1)-et,
tan2x+a2+tan2y+a2=b2(1+tan2x+tan2y+a2),
melyből következik, hogy
tan2x+tan2y=2a2-b2(1+a2)b2-1.3)
Az 1) és 3) egyenletek alapján tan2x és tan2y a következő másodfokú egyenlet gyökei:
X2-2a2-b2(1+a2)b2-1X+a2=0.
Hogy ezen egyenlet tan2x és tan2y részére elfogadható értékeket szolgáltasson, szükséges és elegendő, miszerint gyökei valósak és pozitivok legyenek.
A valósság feltétele:
[2a2-b2(1+a2)b2-1]-4a20,
[2a(a+1)-b2(a+1)2][2a(a-1)-b2(a-1)2]0;
ha ezen egyenletet elosztjuk az
(a+1)2(a-1)2
pozitív értékkel, lesz belőle:
(2aa+1-b2)(2aa-1-b2)0.4)
Minthogy a gyökök szorzata a2 positív, ez utóbbiak akkor lesznek positívok, ha összegük
2a2-b2(1+a)b2-1>0
vagyis b2 minden értékénél, mely a
2a2a2+1  és  1
határok közé esik.
Ha a 4) alatti egyenlőtlenség baloldalán álló mennyiségben b2 helyébe 2a2a2+1-et teszek, az negatív lesz és így 2a2a2+1
2aa+1és2aa-1
között foglaltatik.
Hasonlóképpen meggyőződhetünk, miszerint 1 e két utóbbi mennyiség által határolt intervallumon kívül fekszik.
Az egyedüli értékei b2-nek, melyek a problémát kielégítik az
(1,2aa+1)és(1,2aa-1)
intervallumok közös értékei közt keresendők.
Ha tekintetbe vesszük a
2aa+1-1=a-1a+1
és a
2aa-1-1=a+1a-1
külömbségeket, azt látjuk, hogy az első intervallum a másodikban foglaltatik, ha a positív. Ha a negatív, a második intervallum foglaltatik az elsőben.