Kezdőlap


Feladat:	Metresis 14. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 15 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Derékszögű háromszögek geometriája, Függvény határértéke, Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 14. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} Y = x + y . \end{matrix}

Az ellipszis egy pontjának koordinátái közt a következő reláczió áll fenn;

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 = 0. \end{matrix}

Számítsuk ki 2)-ből

y

értékét és helyettesítsük az 1)-be; lesz akkor

\begin{matrix} Y = x + \frac{b}{a} \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} . \end{matrix}

Kérdés, mi történik

Y

-nal, ha

x

értéke

x_{0}

-tól

x_{1}

-ig növekszik?
Legyen

Y_{0}

és

Y_{1}

Y

értéke

x = x_{0}

és

x = x_{1}

-nél; akkor az

Y_{1} - Y_{0}

kifejezés értéke a következő:

\begin{matrix} x_{1} - x_{0} + \frac{b}{a} (\sqrt[]{a^{2} - x_{1}^{2}} - \sqrt[]{a^{2} - x_{0}^{2}}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x_{1} - x_{0} - \frac{b}{a} \frac{x_{1}^{2} - x_{0}^{2}}{\sqrt[]{a^{2} - x_{1}^{2}} + \sqrt[]{a^{2} - x_{0}^{2}}} \end{matrix}

mely külömbség még a következő alakban írható

\begin{matrix} (x_{1} - x_{0}) (1 - \frac{b}{a} \frac{x_{1} + x_{0}}{\sqrt[]{a^{2} - x_{1}^{2}} + \sqrt[]{a^{2} - x_{0}^{2}}}) \end{matrix}

Y_{1} - Y_{0}

külömbség pozitív, zérus vagy negatív, a szerint a mint az

\begin{matrix} \frac{Y_{1} - Y_{0}}{x_{1} - x_{0}} \end{matrix}

hányados pozitív, zérus vagy negatív. De ez utóbbi

\begin{matrix} 1 - \frac{b}{a} \frac{x_{1} + x_{0}}{\sqrt[]{a^{2} - x_{1}^{2}} + \sqrt[]{a^{2} - x_{0}^{2}}} \end{matrix}

x_{1} - x_{0}

külömbség bármily csekély, tehát a zérusnál is. Ha tehát

x_{1} = x_{0} = x

akkor

\begin{matrix} Y' = {lim}_{}^{} \frac{Y_{1} - Y_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \frac{a \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} - b x}{a \sqrt[]{a^{2} - x^{2}}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} Y' = \frac{a^{4} - (a^{2} + b^{2}) x^{2}}{a \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} (a \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} + b x)} \end{matrix}

Minthogy

x

0

és

a

határok közt változik,

\sqrt[]{a^{2} - x^{2}}

mindíg valós és a gyök pozitív értékeinél az

Y'

nevezője mindíg pozitív. Előjele tehát pusztán a számlálóétól függ. A számláló nagyobb, egyenlő vagy kisebb a zérusnál, a szerint, a mint

\begin{matrix} x ⋚ \frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} \end{matrix}

Y

változásainak táblázata tehát a következő:

\begin{matrix} \begin{matrix} x | & o & \frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} & a \\ Y' | & + & o & - \\ Y | & b & \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} & a \end{matrix} \end{matrix}

vagyis, ha az

x

o

-tól

\frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}

-ig növekedik

Y

b

-től

\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

-ig szintén növekedik, míg ha

x \frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}

-től

a

-ig tovább növekedik,

Y

\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

-től

a

-ig fogy, vagyis

Y

-nak

\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

maximuma.
Az

M

pontot, melynél

Y

értéke maximum, következőképpen szerkesztjük meg. Legyenek az ellipszis nagy tengelyének végpontjai

A

és

A'

, kis tengelyének végpontjai

B

és

B'

. Ekkor

\begin{matrix} x_{m} = \frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} = \frac{a^{2}}{A B} . \end{matrix}

Vigyük fel az

O B

egyenesre az

O D = A B

hosszúságot és kössük össze

D

-t

A'

-tel.

A'

-ban emeljünk merőlegest

A' D

-re, míg az

O B'

-et

E

-ben metszi.

O E

a keresett

x_{m}

távolság.
Ugyanis a

D A' E

derékszögű háromszögből folyik, miszerint

\begin{matrix} A' O^{2} = O D \cdot O E \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} O E = \frac{A' O^{2}}{O D} = \frac{a^{2}}{A B} . \end{matrix}

II. Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} Y = x y . \end{matrix}

Ezen egyenlet a 2) tekintetbe vételével a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} Y = \frac{b x}{a} \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} \end{matrix}

melyből

\begin{matrix} Y' = {lim}_{}^{} \frac{Y_{1} - Y_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \frac{a^{2} b - 2 b x^{2}}{a \sqrt[]{a^{2} - x^{2}}} \end{matrix}

Ez utóbbinak előjele az

\begin{matrix} \frac{a^{2}}{2} - x^{2} \end{matrix}

előjelétől függ. A következő táblázat mutatja

x y

változásait:

\begin{matrix} \begin{matrix} x | & o & \frac{a \sqrt[]{2}}{2} & a \\ Y' | & + & o & - \\ Y | & o & \frac{a b}{2} & o \end{matrix} \end{matrix}

x = x_{m} = \frac{a \sqrt[]{2}}{2}

x y = \frac{a b}{2} =

maximum. Az

x_{m}

szerkesztése igen egyszerű. Az

O A

felezési pontjából

C

-ből, mint középpontból leírjuk az

O C = A C

sugarú kört. A

C

pontban merőlegest emelünk

O A

-ra. E merőleges és a kör metszéspontjainak bármelyike az

O

-tól a keresett

x_{m}

távolságra van.