Kezdőlap


Feladat:	Metresis 13. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 13 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Tengely körüli forgatás, Egyenes körhengerek, Térfogat, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $D D' = x$ . A feladat értelmében fennáll a következő egyenlet:

\begin{matrix} 2 π x^{2} + 2 π x D E = 4 π R^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{2} + x D E = 2 R^{2} . \end{matrix}

Hogy kiszámíthassuk

D E

értékét, vegyük figyelembe a

C D E

és

C A B

hasonló háromszögeket, melyekből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{D E}{a} = \frac{h - x}{h} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} D E = \frac{a (h - x)}{h} \end{matrix}

A probléma egyenlete tehát a következő:

\begin{matrix} x^{2} + \frac{a x (h - x)}{h} = 2 R^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} (a - h) x^{2} - a h x + 2 h R^{2} = 0 \end{matrix}

A probléma természetéből következik, hogy

x

-nek csak oly értékei jöhetnek tekintetbe, melyek valósak, pozitívok és

0

és

h

között foglaltatnak. Az első feltételt kifejezi az

\begin{matrix} a^{2} h^{2} - 8 (a - h) h R^{2} \geq 0 \end{matrix}

egyenlőtlenség. A második és harmadik feltételt kielégíti egyidejűleg a

2)

alatti egyenlet egy gyöke, ha

\begin{matrix} f (0) \cdot f (h) < 0 \end{matrix}

hol

f (0)

és

f (h)

azon értékeket jelentik, melyek a 2) alatti egyenlet baloldalából keletkeznek, ha benne

x

-et

0

, ill.

h

-val felcserélem; mind a két gyöke, ha egyidejűleg fennáll a következő egyenlőtlenség:

\begin{matrix} f (0) \cdot f (h) > 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} 0 < \frac{a h}{2 (a - h)} < h . \end{matrix}

h \geq a

, az 1) gyökei

R

bármely értékénél valósak; ha azonban

h < a

, csak akkor, ha

\begin{matrix} R^{2} \leq \frac{a^{2} h}{8 (a - h)} \end{matrix}

E szerint vizsgálatunkban három fő esetet külömböztetünk meg a szerint, amint

h

nagyobb, egyenlő, vagy kisebb az

a

-nál.

1^{0} . h > a

. ‐ Minthogy

f (0) = 2 R^{2} h

és

f (h) = h (2 R^{2} - h^{2})

és a gyökök félösszege,

a h : 2 (a - h)

a jelen esetben

R

bármely értékénél negatív, positív gyök csak egy lehetséges, még pedig akkor, ha

\begin{matrix} 2 R^{2} h^{2} (2 R^{2} - h^{2}) < 0 \end{matrix}

azaz, ha

\begin{matrix} R^{2} < \frac{h^{2}}{2} \end{matrix}

2^{0} . h = a

. ‐ Ekkor

x = \frac{2 R^{2}}{a}

és ez akkor megfelelő érték, ha kisebb a

h = a

-nál; vagyis, ha

\begin{matrix} R^{2} < \frac{a^{2}}{2} \end{matrix}

3^{0} . h < a

. ‐ A gyökök akkor valósak, ha

\begin{matrix} R^{2} ≦ \frac{a^{2} h}{8 (a - h)} \end{matrix}

Hogy mindkettő, vagy csak egyik felel-e meg a feladatnak, az

f (h)

előjelétől függ csupán, mert

f (0) > 0

. De

\begin{matrix} f (h) = h (2 R^{2} - h^{2}) \end{matrix}

és a jelen főesetben 3 alesetet külömböztetünk meg a szerint, a mint

f (h) ⋚ 0

.
Minthogy az

{(a - 2 h)}^{2} > 0

feltétlenül fennálló egyenlőtlenségből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{h^{2}}{2} < \frac{a^{2}}{8 (a - h)} \end{matrix}

és ha ugyanekkor

f (h) < 0

, azaz

\begin{matrix} R^{2} < \frac{h^{2}}{2} \end{matrix}

0

és

h

közé csak egy gyök esik, még pedig minthogy

\begin{matrix} \frac{a h}{2 (a - h)} > 0 \end{matrix}

azaz mindkét gyök positiv, a gyökök kisebbike. Ha

\begin{matrix} R^{2} = \frac{h^{2}}{2} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} f (h) = 0 \end{matrix}

azaz

h

az 1) alatti egyenlet gyöke és a henger egy

C H = h

sugarú körlapra redukálódik.
A második gyök ez esetben

\begin{matrix} x_{2} = \frac{a h}{a - h} - h = \frac{h^{2}}{a - h} \end{matrix}

és csak akkor felel meg, ha kisebb a

h

-nál, azaz ha

\begin{matrix} \frac{h^{2}}{a - h} < h \end{matrix}

\begin{matrix} 2 h^{2} < a h \end{matrix}

\begin{matrix} h < \frac{a}{2} \end{matrix}

Ha végre

\begin{matrix} \frac{h^{2}}{2} < R^{2} < \frac{a^{2} h}{8 (a - h)} \end{matrix}

két megoldás van, vagy egy sincs, a szerint, a mint

\begin{matrix} \frac{a h}{2 (a - h)} < > h \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} h ≶ \frac{a}{2} \end{matrix}

Összefoglalás: A problémának egy megoldása van, ha

\begin{matrix} R^{2} < \frac{h^{2}}{2}, \end{matrix}

kettő, ha

\begin{matrix} h < \frac{a}{2} és \frac{h^{2}}{2} \leq R^{2} \leq \frac{a^{2} h}{8 (a - h)} \end{matrix}