Kezdőlap


Feladat:	Metresis 6. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 5 - 6. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paralelogrammák, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 6. feladata

A B C D

derékszögű paralelogramma oldalai a következők:

A B = 2 a

és

A C = h .

Találtassék az

E F = A C

egyenesen, mely

A C

-vel párhuzamos és a paralelogrammát két egyenlő részre osztja, oly

M

pont, hogy az

A M + M B + M F

összeg maximum vagy minimum legyen.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jeleljük $E M$ -et $x$ -szel. Az $A M + M B + M F$ kifezés ekkor a következő alakot ölti:

\begin{matrix} y = 2 \sqrt[]{a^{2} + x^{2}} + h - x \end{matrix}

(h - x)

-et a bal oldalra hozva és négyzetre emelve, nyerjük a következő egyenletet:

\begin{matrix} {(x + y - h)}^{2} = 4 (a^{2} + x^{2}) \end{matrix}

vagy kifejtve ezt és

x

-nek fogyó hatványai szerint rendezve:

\begin{matrix} 3 x^{2} - 2 (y - h) x + 4 a^{2} - {(y - h)}^{2} = 0 \end{matrix}

Hogy

y

valós értékeinek

x

-nek is valós értékei feleljenek meg, kell hogy:

\begin{matrix} 4 {(y - h)}^{2} - 48 a^{2} + 12 {(y - h)}^{2} \geq 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(y - h)}^{2} > 3 a^{2} \end{matrix}

Minthogy pedig

y - h > 0

4)

alatti egyenlőtlenség még a következő alakra hozható:

\begin{matrix} y - h \geq a \sqrt[]{3} \end{matrix}

\begin{matrix} y \geq h + a \sqrt[]{3} \end{matrix}

y = h + a \sqrt[]{3}

, akkor

x

-nek értéke a

3)

-ból

\frac{a \sqrt[]{3}}{3} .

Ha tehát

h > \frac{a \sqrt[]{3}}{3}

, akkor

y = A M + M B + M F

minimum és értéke

h + a \sqrt[]{3} .