Feladat: Metresis 6. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 5 - 6. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paralelogrammák, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 6. feladata

Az ABCD derékszögű paralelogramma oldalai a következők: AB=2a és AC=h. Találtassék az EF=AC egyenesen, mely AC-vel párhuzamos és a paralelogrammát két egyenlő részre osztja, oly M pont, hogy az AM+MB+MF összeg maximum vagy minimum legyen.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jeleljük EM-et x-szel. Az AM+MB+MF kifezés ekkor a következő alakot ölti:

y=2a2+x2+h-x1)
A (h-x)-et a bal oldalra hozva és négyzetre emelve, nyerjük a következő egyenletet:
(x+y-h)2=4(a2+x2)2)
vagy kifejtve ezt és x-nek fogyó hatványai szerint rendezve:
3x2-2(y-h)x+4a2-(y-h)2=03)
Hogy y valós értékeinek x-nek is valós értékei feleljenek meg, kell hogy:
4(y-h)2-48a2+12(y-h)20

vagy
(y-h)2>3a24)

Minthogy pedig y-h>0 a 4) alatti egyenlőtlenség még a következő alakra hozható:
y-ha3
yh+a3
Ha y=h+a3, akkor x-nek értéke a 3)-ból a33. Ha tehát h>a33, akkor y=AM+MB+MF minimum és értéke h+a3.