Kezdőlap


Feladat:	Metresis 2. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1894/július, 2. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Kombinatorika, Osztók száma, Oszthatóság, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/július: Metresis 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írhatjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{p + 2}{p + 1} = \frac{(p - 1) + 3}{p - 1} = 1 + \frac{3}{p - 1} . \end{matrix}

Hogy a hányados egész szám legyen, kell, hogy

p - 1

3

-nak osztója legyen, amiből következik, hogy

\begin{matrix} p - 1 = 1 és p = 2 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} p - 1 = 3 és p = 4 \end{matrix}

N = 2^{p} 3^{q}

szám osztóinak a száma

(p + 1) (q + 1);

N^{2} = 2^{2 p} 3^{2 q}

szám osztóinak a száma

(2 p + 1) (2 q + 1) .

A föladat értelmében tehát

\begin{matrix} (2 p + 1) (2 q + 1) = 3 (p + 1) (q + 1) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} p q - q = p + 2 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} q = \frac{p + 2}{p - 1} \end{matrix}

De látjuk, hogy

p

csak

2

és

4

lehet és ugyanekkor

q

4

és

2

. A keresett számok tehát

\begin{matrix} N = 2^{2} 3^{4} = 324 \end{matrix}

\begin{matrix} N = 2^{4} 3^{2} = 144 \end{matrix}