Feladat: Metresis 1. feladata Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: -
Füzet: 1894/július, 1 - 2. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/július: Metresis 1. feladata

Kerestessék egy két számjelből álló szám oly módon, hogy ha azt háromszor egymás mellé írjuk és azután még 1-et írunk melléje, oly 7 számjelű számot kapunk, mely teljes köb.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen x a keresett szám és n3 a 7 számjelből álló teljes köb. Ekkor

101010x+1=n31)
és
106n3<1072)

A 2-ből következik, hogy az n 100 és 100103, vagyis 100 és 215 között fekszik.
Az 1)-ből következik, hogy n3 1-gyel végződik, ami csak úgy lehetséges, ha n is 1-gyel végződik. Különben az 1) alatti egyenlet még a következő alakra hozható:
101010x=n3-1
vagy
101010x=(n-1)n(n+1)+n-13)

A 3) baloldala és a jobb oldal első tagja 30-czal osztható. Ugyanis 101010=303367,n-1 0-sal végződik, mert n feltétel szerint eggyel végződik és végre három egymásra következő szám közül egy mindig osztható 3-mal. Kell tehát, hogy n-1 is osztható legyen 30-czal. Vagyis
n-1=30k4)
De 30-nak többszörösei, melyek 99 és 214 között feküsznek, a következők:
120,150,180,210
Tehát az n egyedül a következők közt keresendő:
121,151,181,211.
Ezeknek köbei ismét a következők:
1771561,
3442951,
5929741,
9393931.

Látjuk tehát, hogy csupán n=211 felel meg a feladatnak és a keresett x=93.