Kezdőlap


Feladat:	54. matematika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Steiner Miksa
Füzet:	1900/november, 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Terület, felszín, Húrnégyszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/június: 54. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyszög csúcsait összekötjük a kör középpontjával, és a négyszög területét az így nyert háromszögek területeivel fejezzük ki, a $2 t = a b sin γ$ képlet segélyével. Ekkor tekintetbe véve, hogy

\begin{matrix} O A = O B = O C = O D = 1 \end{matrix}

kapjuk:

\begin{matrix} 2 A B C D = sin 36^{\circ} + sin 72^{\circ} + sin 108^{\circ} + sin 144^{\circ} = \end{matrix}

\begin{matrix} = cos 54^{\circ} + cos 18^{\circ} + cos 18^{\circ} + cos 54^{\circ} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 (+ cos 18^{\circ} + cos 54^{\circ}) = 4 cos \frac{54^{\circ} + 18^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{54^{\circ} - 18^{\circ}}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A B C D = 2 cos 36^{\circ} \cdot cos 18^{\circ} . \end{matrix}

(Steiner Miksa, Pécs.)