Feladat: 54. matematika gyakorlat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Steiner Miksa 
Füzet: 1900/november, 72. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Terület, felszín, Húrnégyszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/június: 54. matematika gyakorlat

Egy kör kerülete, melynek sugara r=1 cm, úgy van négy részre felosztva, hogy az ívek aránya 1:2:3:4. Mutassuk meg, hogy az osztási pontok által meghatározott húrnégyszög területe:
t=2cos18cos36.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyszög csúcsait összekötjük a kör középpontjával, és a négyszög területét az így nyert háromszögek területeivel fejezzük ki, a 2t=absinγ képlet segélyével. Ekkor tekintetbe véve, hogy

OA=OB=OC=OD=1
kapjuk:
2ABCD=sin36+sin72+sin108+sin144=
=cos54+cos18+cos18+cos54=
=2(+cos18+cos54)=4cos54+182cos54-182,
tehát
ABCD=2cos36cos18.
 
(Steiner Miksa, Pécs.)