Feladat: 53. matematika gyakorlat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Steiner Miksa 
Füzet: 1900/november, 71 - 72. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/június: 53. matematika gyakorlat

Az ABC háromszög szögei legyenek α,β,γ. Mutassuk meg, hogy a háromszög derékszögű vagy egyenlőszárú, ha
sinα:sinβ=cosβ:cosα.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha

sinα:sinβ=cosβ:cosα,
akkor
2sinαcosα=2sinβcosβ
vagy
sin2α=sin2β
α és β valamely háromszög szögeit jelentik, tehát
2α+2β<360.
Ámde ezen esetben a két szög sinusa csak úgy lehet egyenlő, ha
1.
2α=2β,
vagy
α=β,
tehát a háromszög egyenlőszárú; vagy
2. ha a szögek egymást 180-ra egészítik ki, azaz
2α+2β=180,
tehát
α+β=90,
mely esetben a háromszög derékszögű.
 

(Steiner Miksa, Pécs.)