Feladat: 928. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Aczél Ferencz ,  Bartók I. ,  Bayer B. ,  Beck P. ,  Bogdán G. ,  Dessauer A. ,  Deutsch I. ,  Enyedi B. ,  Haar A. ,  Harsányi Z. ,  Hirschfeld Gy. ,  Kertész F. ,  Kertész G. ,  König D. ,  Lázár L. ,  Ligeti P. ,  Pilczer P. ,  Pintér M. ,  Pivnyik J. ,  Póka Gy. ,  Riesz K. ,  Schmidl I. ,  Szmodics H. ,  Tóbiás J. L. ,  Tóth B. 
Füzet: 1901/június, 254. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Hossz, kerület, Trapézok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Ellipszis, mint mértani hely, Hiperbola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1901/március: 928. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1∘. A trapézek C és D csúcsai az A és B pontok körül az adott átlóhosszal rajzolt körök kerületén feküsznek. Egy tetszőleges, feladatunknak megfelelő, trapéz tehát úgy szerkeszthető, hogy a tetszőleges AC sugarat megrajzoljuk, mikor is az A-ból BC-vel rajzolt párhuzamos a B kört D-ben metszi.

 

2∘. Az átlók O metszéspontjainak geometriai helye egy olyan középpontos kúpszelet, melynek fokusa és vezérköre A és B illetőleg B és A, mert:
AO=OD
és
BO=OC.
A szerint, a mint AC=AD≷AB-nél a geometriai hely ellipsis, illetőleg hyperbola.
 

3∘. A trapéz kerülete:
K=AD+BC+2AB,
K akkor minimális, ha AD=BC minimum, mert AB adott. Ámde Ptolemäus tétele szerint
AD⋅BC=AC⋅BC-AB⋅CD=const,
tehát AD+BC és evvel együtt K is minimális, ha AD=BC, vagyis a trapéz: oblongum.
 

(Aczél Ferencz, Budapest.)
 

A feladatot még megoldották: Bartók I., Bayer B., Beck P., Bogdán G., Dessauer A., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Harsányi Z., Hirschfeld Gy., Kertész F., Kertész G., König D., Lázár L., Ligeti P., Pilczer P., Pintér M., Pivnyik I., Póka Gy., Riesz K., Schmidl I., Szmodics H., Tóbiás J. L., Tóth B.