Kezdőlap


Feladat:	877. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Baranyó E. , Bartók I. , Bayer B. , Beck P. , Dessauer A. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar Alfréd , Hirschfeld Gy. , Kalmár S. , Kertész F. , Papp F. , Pilczer P. , Pintér M. , Pivnyik I. , Póka Gy. , Raab R. , Sasvári J. , Schlesinger A. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Tóbiás J. L. , Ungár B. , Weisz P.
Füzet:	1901/december, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Téglalapok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/december: 877. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott derékszögű négyszög alapja $a$ , magassága $b$ ; a körülírt háromszög alapja $y$ , magassága $x$ . A háromszög területe:

\begin{matrix} t = \frac{x y}{2} . \end{matrix}

A megfelelő hasonló háromszögekből következik, hogy

\begin{matrix} b : y - a = x : y \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y = \frac{a x}{x - b}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} t = \frac{a x^{2}}{2 (x - b)}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a x^{2} - 2 t x + 2 b t = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{t \pm \sqrt[]{t^{2} - 2 t a b}}{a} \end{matrix}

x

akkor reális, ha

\begin{matrix} t ≧ 2 a b \end{matrix}

így tehát a terület minimális értéke:

\begin{matrix} t = 2 a b, \end{matrix}

a mikor

x = 2 b

és

y = 2 a

. A minimális területű háromszög alapja és magassága tehát kétszerese a négyszög alapjának, illetőleg magasságának.

(Haar Alfréd, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Baranyó E., Bartók I., Bayer B., Beck P., Dessauer A., Deutsch I., Enyedi B., Hirschfeld Gy., Kalmár S., Kertész F., Papp F., Pilczer P., Pintér M., Pivnyik I., Póka Gy., Raab R., Sasvári J., Schlesinger A., Sümegi Gy., Szmodics H., Tóbiás L., Ungár B., Weisz P.