Feladat: 877. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Aczél F. ,  Baranyó E. ,  Bartók I. ,  Bayer B. ,  Beck P. ,  Dessauer A. ,  Deutsch I. ,  Enyedi B. ,  Haar Alfréd ,  Hirschfeld Gy. ,  Kalmár S. ,  Kertész F. ,  Papp F. ,  Pilczer P. ,  Pintér M. ,  Pivnyik I. ,  Póka Gy. ,  Raab R. ,  Sasvári J. ,  Schlesinger A. ,  Sümegi Gy. ,  Szmodics H. ,  Tóbiás J. L. ,  Ungár B. ,  Weisz P. 
Füzet: 1901/december, 117 - 118. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Téglalapok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/december: 877. matematika feladat

Adott derékszögű négyszög körül írjunk minimális területű egyenlőszárú háromszöget.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott derékszögű négyszög alapja a, magassága b; a körülírt háromszög alapja y, magassága x. A háromszög területe:

t=xy2.
A megfelelő hasonló háromszögekből következik, hogy
b:y-a=x:y
miből
y=axx-b,
s így
t=ax22(x-b),
vagy
ax2-2tx+2bt=0,
miből
x=t±t2-2taba
x akkor reális, ha
t2ab
így tehát a terület minimális értéke:
t=2ab,

a mikor x=2b és y=2a. A minimális területű háromszög alapja és magassága tehát kétszerese a négyszög alapjának, illetőleg magasságának.
 

(Haar Alfréd, Budapest.)
 

A feladatot még megoldották: Aczél F., Baranyó E., Bartók I., Bayer B., Beck P., Dessauer A., Deutsch I., Enyedi B., Hirschfeld Gy., Kalmár S., Kertész F., Papp F., Pilczer P., Pintér M., Pivnyik I., Póka Gy., Raab R., Sasvári J., Schlesinger A., Sümegi Gy., Szmodics H., Tóbiás L., Ungár B., Weisz P.