Kezdőlap


Feladat:	873. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Deutsch I. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kőnig Dénes , Lázár L. , Ligeti P. , Messik G. , Papp F. , Póka Gy. , Riesz M. , Sasvári J. , Schlesinger A. , Schmidl I. , Schwarz Gy. , Szmodics H.
Füzet:	1901/február, 168 - 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékosztályok, Oszthatósági feladatok, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/november: 873. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $m$ nem osztható $5$ -tel (ha osztható volna, akkor az $A = a m^{3} + b m^{2} + c m + d$ kifejezés csak úgy lehetne osztható, ha $d$ is osztható), azért $m$ csakis $5 p + 1, 5 p - 1, 5 p + 2, 5 p - 2$ alakú lehet. Ha most $m$ ezen értékeit helyettesítjük az $A$ kifejezésbe és az $5$ -tel osztható tagokat elhagyjuk, akkor a következő kifejezéseket nyerjük:

\begin{matrix} A_{1} = a + b + c + d \end{matrix}

\begin{matrix} A_{2} = - a + b - c + d \end{matrix}

\begin{matrix} A_{3} = 8 a + 4 b + 2 c + d \end{matrix}

\begin{matrix} A_{4} = - 8 a + 4 b - 2 c + d . \end{matrix}

Most már bebizonyítandó, hogy ha ezen kifejezések bármelyike osztható

5

-tel, akkor található oly

n

szám, hogy

B = d n + c n^{2} + b n + a

is osztható

5

-tel; vagyis

n

helyébe is hasonlóan mint előbb az

5 q + 1, 5 q - 1, 5 q + 2, 5 q - 2, 5 q

értékeket helyettesítve, a

\begin{matrix} B_{1} = d + c + b + a \end{matrix}

\begin{matrix} B_{2} = - d + c - b + a \end{matrix}

\begin{matrix} B_{3} = 8 d + 4 c + 2 b + a \end{matrix}

\begin{matrix} B_{4} = - 8 d + 4 c - 2 b + a \end{matrix}

\begin{matrix} B_{5} = a \end{matrix}

kifejezések egyike is osztható. Vegyük sorra az eseteket. Ha

A_{1}

osztható akkor a vele egyenlő

B_{1}

, ha pedig

A_{2}

, akkor negatív értéke:

B_{2}

osztható. Továbbá, minthogy

2 A_{3} - B_{4} = 15 a + 10 b + 10 d

és

2 A_{4} + B_{3} = - 15 a + 10 b + 10 d

oszthatók

5

-tel, azért látjuk, hogy ha

A_{3}

osztható

5

-tel, akkor

B_{4}

, ha pedig

A_{4}

, akkor

B_{3}

is osztható. Bármily értéket teszünk is tehát

A

-ban

m

helyébe, hogy

A

osztható legyen

5

-tel, mindig találtunk oly

n

-t, hogy

B

5

többszöröse lett.

(König Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B, Deutsch I., Haar A., Hirschfeld Gy., Lázár L., Ligeti P., Messik G., Papp F., Póka Gy., Riesz M., Sasvári J., Schlesinger A., Schmidl I., Schwarz Gy., Szmodics H.