Kezdőlap


Feladat:	870. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Enyedi Béla
Füzet:	1901/április, 231 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Körülírt kör, Húrnégyszögek, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/november: 870. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen $A B C$ a megadott egyenlő oldalú háromszög. Vegyük fel a $B C$ íven a $P$ pontot úgy, hogy $C P$ ív kisebb legyen a $P B$ ívnél. $P A$ -ra mérjük rá $P B$ -t úgy, hogy $P D = P B$ . Így nyerjük a $B D P$ egyenlő oldalú háromszöget. Ennélfogva $B P = B D$ ; minthogy továbbá $A B = C B$ és $P A B ∢ = P C B ∢$ , azért $A D B Δ ≅ C P B Δ$ . Így tehát $A D = P C$ . Eme egyenlőséghez hozzáadva a $P D = P B$ egyenlőséget, kapjuk, hogy

\begin{matrix} A D + P D = P C + P B \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} A P = P C + P B . \end{matrix}

(Enyedi Béla, Budapest.)

Ha a

P

pontot úgy vesszük fel, hogy

\hat{P C} = \hat{P B}

, akkor

A P B Δ ≅ A P C Δ

; minthogy pedig e háromszögek normál háromszögek, azért:

\begin{matrix} P B = P C = \frac{1}{2} P A, \end{matrix}

tehát ismét

\begin{matrix} P B + P C = P A . \end{matrix}

II. Megoldás. A Ptolemaeus-féle tételt alkalmazva

\begin{matrix} P B \cdot A C + P C \cdot A B = P A \cdot B C, \end{matrix}

\begin{matrix} A C = A B = B C \end{matrix}

s így:

\begin{matrix} P B + P C = P A . \end{matrix}

Megoldások száma: 63.