Kezdőlap


Feladat:	867. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bayer Béla
Füzet:	1901/november, 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/november: 867. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a metszősík távolsága a gömb középpontjától $x$ ; a gömbből kimetszett kör sugara $r_{1}$ , a kúpból kimetszetté pedig $r_{2}$ . Mivel a gömbbe írt egyenlőoldalú kúp alapjának sugara $\frac{R}{2} \sqrt[]{3}$ , magassága $\frac{3}{2} R$ , azért:

\begin{matrix} \frac{3}{2} R : (R + x) = \frac{R}{2} \sqrt[]{3} : r_{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} r_{2}^{2} = \frac{{(R + x)}^{2}}{3}; \end{matrix}

s így a metszetek területeinek összege:

\begin{matrix} t = (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}) π = [R^{2} - x^{2} + \frac{{(R + x)}^{2}}{3}] = \frac{2 π}{3} [- x^{2} + R x + 2 R^{2}] . \end{matrix}

E függvény akkor veszi fel maximális értékét, ha

x = \frac{R}{2}

, vagyis ha a metsző sík a kúp alapjával összeesik.

(Bayer Béla, Losoncz.)

Megoldások száma: 32.