Kezdőlap


Feladat:	861. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Weisz Pál
Füzet:	1901/szeptember, 27. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/november: 861. matematika feladat

Ha valamely egyenlő oldalú háromszög

A B, B C, C A

oldalait ugyanazon arányban osztjuk, s az osztópontokat összekötjük, ismét egyenlő oldalú háromszöget kapunk. Mily arányban kell az adott háromszög oldalait osztanunk, hogy az osztópontok háromszögének területe minimális legyen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a háromszög egyik oldala $a$ , az egyik metszet $x$ , tehát a másik $a - x$ ; ha a beírt háromszög területe $y$ , akkor

\begin{matrix} y = \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3} - \frac{3 x (a - x) sin 60^{\circ}}{2} = \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3} - \frac{3}{4} x (a - x) \sqrt[]{3}, \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3} + \frac{3 \sqrt[]{3}}{4} (x^{2} - a x) \end{matrix}

y

minimum, ha

x = \frac{a}{2}

, vagyis ha az eredeti háromszög oldalait felezzük.

(Weisz Pál, Nyitra.)

Megoldások száma: 39.