Feladat: 823. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer Béla ,  Filkorn J. ,  Klein A. ,  Krausz B. ,  König D. ,  Lázár L. ,  Lukhaub Gy. ,  Scharff J. ,  Weisz A. 
Füzet: 1901/március, 193 - 194. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Egyenes, Háromszögek szerkesztése, Hatványvonal, hatványpont, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/április: 823. matematika feladat

Ha az ABC háromszög síkjában megszerkesztjük az AB1C,CA1B,BC1A háromszögeket oly módon, hogy CB1=CA1,BA1=BC1,AC1=AB1; akkor bebizonyítandó, hogy az A1,B1 és C1 pontokból a BC, illetőleg AC és AB egyenesekre bocsátott merőlegesek egymást egy pontban metszik.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha A-ból AB1=AC1, B-ből BC1=BA1 és C-ből CA1=CB1 sugárral köröket rajzolunk, akkor a feladatban említett merőlegesek e körök közös húrjai, mert a közös húr merőleges a centrálisra. Tegyük fel, hogy az A és B, továbbá az A és C körök közös húrjai D-ben metszik egymást. Bebizonyítjuk, hogy a B és C körök közös húrja is átmegy D ponton. Ismeretes, hogy két egymást metsző kör közös húrja egyúttal a két kör hatványvonala, vagyis ama pontok mértani helye, melyekből a két körhöz húzott érintők egyenlők. Ennélfogva D pontból az A és B, továbbá az A és C körökhöz egyenlő érintőket rajzolhatunk, tehát a B és C körökhöz is, a miért is D pontja a B és C körök hatványvonalának, vagyis az A1-ből BC oldalra bocsájtott merőlegesnek.

 

(Bayer Béla, Losoncz.)
 

Afeladatot még megoldották: Filkorn J., Klein A., König D., Krausz B., Lázár L., Lukhaub Gy., Scharff J., Weisz A.