Feladat: 820. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartók I. ,  Bayer B. ,  Filkorn J. ,  Kertész F. ,  Klein A. ,  König D. ,  Lázár L. ,  Lukhaub Gy. ,  Pilczer P. ,  Póka Gy. ,  Scharff J. ,  Spitzer V. ,  Sümegi Gy. ,  Szmodics H. ,  Tézner E. ,  Weisz A. ,  Wohlstein Sándor 
Füzet: 1900/szeptember, 32. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Magasságpont, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/április: 820. matematika feladat

Legyen az ABC háromszög magassági pontja M, s jelöljük a magasságok talppontjait A',B' és C'-tel. Mutassuk meg, hogy
1.ABCM+BCAM+CABM=ABBCCAAMBMCM,

2.A'MAM=B'MBM=C'MCM.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Ismeretes, hogy (K.M.L.V.60.l.)

AM=BCctgα,BM=ACctgβ,CM=ABctgγ,
miből
ABCM=tgγ,ACBM=tgβ,BCAM=tgα,
de (K.M.L.II.58.l.)
tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ
s így
ABCM+ACBM+BCAM=ABACBCAMBMCM.
 

2. Minthogy A'BMAB'M és AC'MA'CM, azért
A'M:BM=B'M:AM
és
A'M:CM=C'M:AM,
mely aránypárokból :
A'MAM=B'MBM=C'MCM.

 
(Wohlstein Sándor, Szolnok.)

 
A feladatot még megoldották: Bartók I., Bayer B., Filkorn J., Kertész F., Klein A., König D., Lázár L., Lukhaub Gy., Pilczer P., Póka Gy., Scharff J., Spitzer V., Sümegi Gy., Szmodics H., Tézner E., Weisz A.