Kezdőlap


Feladat:	808. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bayer B. , Burján K. , Czank K. , Demeter J. , Filkorn J. , Hirschfeld Gy. , Kerekes T. , Kornis F. , König D. , Lázár L , Lukhaub Gy. , Lupsa György , Póka Gy. , Scharff J. , Singer A. , Smodics K. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Tézner E. , Weisz A. , Wohlstein S.
Füzet:	1900/december, 125 - 126. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Paralelogrammák, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/március: 808. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C, A B D$ és $A C D$ háromszögek köré írható körök középpontjai $O, O_{1}$ és $O_{2}$ .

\begin{matrix} B O_{1} D ∢ = 2 B A D ∢ = B A C ∢ = B I C ∢ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} O_{1} B D ∢ = 90^{\circ} - \frac{B O_{1} D ∢}{2} = 90^{\circ} - \frac{B I C ∢}{2} = I B C ∢, \end{matrix}

miből következik, hogy

O_{1}

pont a

B I

egyenesen van és

O_{1} D ∥ I C

. Hasonlóan kimutatható, hogy

O_{2} D ∥ B I

, miért is

I O_{1} D O_{2}

parallelogramma s így:

\begin{matrix} B I = B O_{1} + O_{1} I = B O_{1} + D O_{2} = r_{1} + r_{2} . \end{matrix}

Hasonló eljárással kimutathatjuk, hogy

A D'

külső szögfelezőre nézve

\begin{matrix} r_{1} - r_{2} = B I', \end{matrix}

hol

I'

B C

ív felezőpontja.

(Lupsa György, Déva.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Burján K., Czank K., Demeter J., Filkorn J., Hirschfeld Gy., Kerekes T., Kornis F., König D., Lázár L., Lukhaub Gy., Póka Gy., Scharff J., Singer A., Smodics K., Sümegi Gy., Szmodics H., Tézner E., Weisz A., Wohlstein S.