Feladat: 808. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Burján K. ,  Czank K. ,  Demeter J. ,  Filkorn J. ,  Hirschfeld Gy. ,  Kerekes T. ,  Kornis F. ,  König D. ,  Lázár L ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa György ,  Póka Gy. ,  Scharff J. ,  Singer A. ,  Smodics K. ,  Sümegi Gy. ,  Szmodics H. ,  Tézner E. ,  Weisz A. ,  Wohlstein S. 
Füzet: 1900/december, 125 - 126. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Paralelogrammák, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/március: 808. matematika feladat

Az ABC háromszögben rajzoljuk meg az A szög belső szögfelezőjét AD-t. Mutassuk meg, hogy az ABD és ADC háromszögek köré írható körök sugarainak összege egyenlő a B vagy C pontnak a BAC körív I középpontjától való távolságával.
Hogy hangzik e tétel, ha AD' külső szögfelező?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az ABC,ABD és ACD háromszögek köré írható körök középpontjai O,O1 és O2.

 

 

BO1D=2BAD=BAC=BIC
s így
O1BD=90-BO1D2=90-BIC2=IBC,
miből következik, hogy O1 pont a BI egyenesen van és O1DIC. Hasonlóan kimutatható, hogy O2DBI, miért is IO1DO2 parallelogramma s így:
BI=BO1+O1I=BO1+DO2=r1+r2.
Hasonló eljárással kimutathatjuk, hogy AD' külső szögfelezőre nézve
r1-r2=BI',
hol I' a BC ív felezőpontja.
 

(Lupsa György, Déva.)
 

A feladatot még megoldották: Bayer B., Burján K., Czank K., Demeter J., Filkorn J., Hirschfeld Gy., Kerekes T., Kornis F., König D., Lázár L., Lukhaub Gy., Póka Gy., Scharff J., Singer A., Smodics K., Sümegi Gy., Szmodics H., Tézner E., Weisz A., Wohlstein S.